Кучланиш тензори

Кучланиш тензори.

Бизга V хажмга ва сиртга эга бўлган деформацияланувчи қаттиқ жисм берилган бўлсин. Бу V хажмли қаттиқ жисм, S_i сирт ва Х_i хажмий кучлар таъсирида мувозанатда бўлсин(1-расм). Ташқи кучларнинг деформацияланувчи қаттиқ жисм заррачаларига таъсири кучланиш тензори билан ифодаланади. Мантиқий мулохозалар ёрдамида кучлариш тензотрини киритиш мумкин. Бунинг учун бизга Гаусс-Остроградский формуласини тензор катталиклар учун умумлашмаси керак бўлади.

1-расм

Маълумки, V хажмда қаралаётган ва компонентлари бўлган вектор функция учун Гаусс- Остроградский формуласи яъни хажм ва сирт интеграллари орасида қуйидаги муносабат ўринли:

(1)
сиртга ўтказилган ташқи нормаль
(2)
ва компоненталари бўлган векторлардан фойдаланган холда Гаусс- Остроградский формуласини куйидаги кўринишда ёзиб олиш мумкин


(3)
ёки
(4)
Гаусс-Остроградский формуласини тензор катталик куйидагича умумлаш тириш мумкин
(5)

Фараз килайлик, деформацияланувчи қаттиқ жисмга унинг сирти бўйича ташқи куч таъсир этаётган ва мувозанатда бўлсин. Бу ташқи куч, V хажмли қаттиқ жисмнинг хар заррачаси бўйича тарқалади ва табиий равишда хар бир заррачада реакция кучи пайдо бўлади. Бу реакция кучини F деб белгилаб қуйидаги ифодани ёзиб олиш мумкин


(6)
Энди тензор катталиклар учун Гаусс Остроградский (5) формуласини инобатга олиб, кучланиш тензори деб аталувчи катталикнинг мавжудлигини ва хажм интеграли остида унинг хосиласи туришлигини топиш мумкин. (6) формуланинг ўнг томони учун Гаусс Остроградский формуласини қўллаб, яъни
(7)
(7) формуладан эса жисмнинг сирти бўйича ўринли бўлган қуйидаги мухим муносабатни топиш мумкин
(8)
Одатда (8) тенглама, математик модел тенгламаларни ечишда чегаравий шарт вазифасини бажаради.
Шундай қилиб, биз сиз билан Гаусс Остроградский формуласи ёрдамида ва мантиқий мушохададар асосида, кучланиш тензорини тушунчасини ва жисмнинг сиртида қўйилган кучни математик ифодалаш имконини берадиган ифодани топдик.

Кучланиш тензорини

(8)
Қуйидаги кўринишдаги ортогонал кўпайтувчиларга ажратиш мумкин
(9)
бу ерда, , мос равишда кучланиш тензорининг девиатор ва сферик қисмлари деб аталади:

(10)
ва кучланиш тензорининг девиатори куйидаги кўринишга эга
(11)
ва унинг диагональ элементларининг йиғиндиси нолга тенг, яъни
(12)
- кучланиш тензорининг интенсивлиги деб аталади
(13)
Худди кучланиш тензоридек, деформация тензорининг интенсивлиги хам мавжуд
, (14)
(13) ва (14) ифодалар мос равишда кучланиш ва деформация тензорларининг 2- инвариантларидир.