Kudaybergenov k. K. Funksional analizdan misol va masalalar

f (x) ham Lebeg ma’noda integrallanuvchi
emasligi kelib chiqadi.
2.3.18. (0, ∞) oraliqda f (t) = e
−[t]
funksiyaning Lebeg integ-
ralini hisoblang.
Yechimi. n ≤ t < n + 1 da [t] = n bo‘lganligidan, bu oraliqda
f (t) = e
−n
. Bundan
Z
(0, ∞)
f (t) dt =
∞
X
n=0
n+1
Z
n
f (t) dt =
∞
X
n=0
n+1
Z
n
e
−n
dt =
=
∞
X
n=0
e
−n
=
e
e − 1
.
2.3.19. (0, ∞) oraliqda
f (t) =
1
[t + 1][t + 2]
funksiyaning Lebeg integralini hisoblang.
Yechimi. n ≤ t < n + 1 da
f (t) =
1
(n + 1)(n + 2)
.
Bundan
Z
(0, ∞)
f (t) dt =
∞
X
n=0
n+1
Z
n
f (t) dt =
∞
X
n=0
n+1
Z
n
1
(n + 1)(n + 2)
dt =

72
II. O‘lchovlar nazariyasi elementlari
=
∞
X
n=0
1
(n + 1)(n + 2)
= 1.
2.3.20. (0, ∞) oraliqda
f (t) =
1
[t]!
funksiyaning Lebeg integralini hisoblang.
Yechimi. n ≤ t < n + 1 da
f (t) =
1
n!
.
Bundan
Z
(0, ∞)
f (t) dt =
∞
X
n=0
n+1
Z
n
f (t) dt =
∞
X
n=0
n+1
Z
n
1
n!
dt =
=
∞
X
n=0
1
n!
= e.
Mustaqil ish uchun masalalar
1 – 9 misollarda
R
E
f (x) dx Lebeg integralini hisoblang.
1.
f (x) =







1
√
x +
4
√
x
, agar x ∈ I ∩ [
1
16
, 1],
4
x,
agar x ∈ I ∩ [1,
5
4
],
sin
2
(x),
agar x ∈ Q,
bunda E = [
1
16
,
5
4
].
2.
f (x) =
(
1
(x + 1)
3
, agar x ∈ I ∩ [0, 1],
7x,
agar x ∈ Q,
bunda E = [0, 1].
3.
f (x) =







1
1 +
√
x
,
agar x ∈ I ∩ [0, 4],
2x − 3
x
2
− 3x + 8
, agar x ∈ I ∩ [4, 5],
sin(3 + x
2
),
agar x ∈ Q,
bunda E = [0, 5].

§ 2.3. Lebeg integrali
73
4.
f (x) =
½
x cos
2
x, agar x ∈ I ∩ [0, π],
x sin
2
x, agar x ∈ Q,
bunda E = [0, π].
5.
f (x) =
(
1
√
x
,
agar x ∈ I ∩ [0, 1],
sin x, agar x ∈ Q,
bunda E = [0, 1].
6.
f (x) =







x
2
− 1
x
2
+ 1
, agar x ∈ I ∩ [0,
1
√
3
],
x
4
x
2
+ 1
, agar x ∈ I ∩ [
1
√
3
,
√
3],
7,
agar x ∈ Q,
bunda E = [0,
√
3].
7.
f (x) =







arctgx
1 + x
2
, agar x ∈ I ∩ [0,
√
3],
− 1
x + 2, agar x ∈ I ∩ [
√
3, 2],
cos
2
x,
agar x ∈ Q,
bunda E = [0, 2].
8.
f (x) =
(
1
cos
2
x
√
1 + tgx
, agar x ∈ I ∩ [0,
π
4
],
8x
2
+ 4,
agar x ∈ Q,
bunda E = [0,
π
4
].
9.
f (x) =
½
x sin
2
x, agar x ∈ I ∩ [0, π],
x cos
2
x, agar x ∈ Q,
bunda E = [0, π].

III BOB
Metrik fazolar
3.1. Metrik fazolar
Haqiqiy sonlar orasidagi masofa tushunchasini umumlashtirilish
natijasida, zamonaviy matematikaning eng muhim tushunchalaridan
biri bo‘lgan metrik fazo tushunchasi fransuz matematigi M. Freshe
tomonidan 1906 yilda kiritilgan. Quyida biz metrik fazolardagi asosiy
tushunchalar bilan tanishamiz.
Ta’rif. X to‘plamning har bir x va y elementlari juftligiga nomanfiy
ρ(x, y) haqiqiy soni mos qo‘yilgan bo‘lib, quyidagi shartlarni qanoat-
lantirsa, u holda ρ funksiyaga metrika deyiladi:
1. ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y (ayniylik aksiomasi);
2. ρ(x, y) = ρ(y, x) (simmetriklik aksiomasi);
3. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (uchburchak aksiomasi).
(X, ρ) juftligiga metrik fazo deyiladi.
1. Haqiqiy sonlar o‘qida x va y sonlar orasidagi masofani ρ(x, y) =
|x − y| ko‘rinishda aniqlasak, u holda ρ metrika bo‘ladi.
2. n sondagi haqiqiy sonlarning x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) tartiblangan
guruhlari to‘plamida metrikani ρ(x, y) =
s
n
P
k=1
(x
k
− y
k
)
2
kabi kiritish
mumkin. Bu to‘plam n-o‘lchovli arifmetik Evklid fazosi deyiladi va R
n
orqali belgilanadi.
3.
`
2
fazosi.
Elementlari haqiqiy sonlarning x = {x
n
}
ketma-ketliklaridan iborat bo‘lib, bu ketma-ketliklarning hadlari
∞
P
n=1
x
2
n
< ∞ shartini qanoatlantiruvchi to‘plamda metrikani ρ(x, y) =
s
∞
P
n=1
(x
n
− y
n
)
2
ko‘rinishda kiritish mumkin. Bu metrik fazo `
2
orqali
belgilanadi.
4. [a, b] segmentda aniqlangan barcha haqiqiy uzluksiz funksiyalar
to‘plamida metrikani
ρ(f, g) = max
a≤t≤b
|g(t) − f (t)|

§ 3.1. Metrik fazolar
75
ko‘rinishda kiritish mumkin. Bu metrik fazo C[a, b] orqali belgilanadi.
5. m fazosi. Hadlari chegaralangan haqiqiy sonlarning cheksiz
x = {x
n
} ketma-ketliklari to‘plamida masofani
ρ(x, y) = sup
n
|x
n
− y
n
|
ko‘rinishda kiritsak, u holda bu to‘plam metrik fazo bo‘ladi. Bu metrik
fazo m orqali belgilanadi.
(X, ρ) metrik fazoda biror {x
n
} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Agar
ixtiyoriy ε > 0 soni uchun shunday n(ε) nomer topilib, n > n(ε) teng-
sizligini qanoatlantiruvchi barcha n lar uchun ρ(x
n
, x) < ε tengsizligi
o‘rinli bo‘lsa, u holda {x
n
} ketma-ketligi x ∈ X elementiga yaqinlashuv-
chi deyiladi va lim
n→∞
x
n
= x yoki x
n
→ x kabi belgilanadi. x nuqta {x
n
}
ketma-ketligining limiti deb ataladi.
Agar {x
n
} ketma-ketlik limit nuqtaga ega bo‘lsa, u holda u yagona
bo‘ladi. Haqiqatan, agar lim
n→∞
x
n
= x va lim
n→∞
x
n
= x
0
bo‘lsa, u holda
ρ(x, x
0
) ≤ ρ(x, x
n
) + ρ(x
n
, x
0
).
Bu tengsizlikning o‘ng tomoni n → ∞ da nolga intiladi. Bundan
ρ(x, x
0
) = 0, ya’ni x = x
0
.
Ta’rif. X metrik fazoda {x
n
} ketma-ketligi berilgan bo‘lsin. Agar
∀ ε > 0 son uchun n(ε) nomer topilib, n, m > n(ε) tengsizliklarini
qanoatlantiruvchi barcha n, m natural sonlari uchun ρ(x
n
, x
m
) < ε
tengsizligi o‘rinli bo‘lsa, u holda {x
n
} ketma-ketlik fundamental deb
ataladi.
Ta’rif. Agar metrik fazoning ixtiyoriy fundamental ketma-ketligi
shu fazoga tegishli limitga ega bo‘lsa, u holda u to‘la metrik fazo deb
ataladi.
Yuqorida keltirilgan haqiqiy sonlar to‘plami, Evklid fazosi to‘la
metrik fazoga misol bo‘ladi. Ratsional sonlar to‘plami esa, to‘la emas
metrik fazoga misol bo‘ladi. Haqiqatan, x
n
= (1 +
1
n
)
n
bo‘lganda, {x
n
}
ketma-ketlik fundamental, ammo uning limiti irratsional e soniga teng.
(X, ρ
1
) va (Y, ρ
2
) metrik fazolar bo‘lsin. X va Y fazolar orasida o‘zaro
bir qiymatli f : X → Y moslik o‘rnatilgan bo‘lib, ixtiyoriy x
1
, x
2
∈ X
elementlari uchun ρ
1
(x
1
, x
2
) = ρ
2
(f (x
1
), f (x
2
)) tengligi o‘rinli bo‘lsa, u
holda bu metrik fazolar o‘zaro izometrik deb ataladi.
(X, ρ
1
) va (Y, ρ
2
) metrik fazolar berilganda, X va Y fazolar orasida
yaqinlashuvchilikni saqlaydigan o‘zaro bir qiymatli f : X → Y moslik
o‘rnatilgan bo‘lsa (ya’ni ρ
1
(x
n
, a) → 0 dan ρ
2
(f (x
n
), f (a)) → 0 kelib

76
III. Metrik fazolar
chiqsa va aksincha), u holda bu metrik fazolar o‘zaro gomeomorf deyi-
ladi.
X fazoda ρ
1
va ρ
2
metrikalar berilgan bo‘lsin. Agar X fazoda ketma-
ketlikning ρ
1
metrika bo‘yicha yaqinlashishidan ρ
2
metrika bo‘yicha
yaqinlashishi va aksincha ρ
2
metrika bo‘yicha yaqinlashishidan ρ
1
metrika bo‘yicha yaqinlashishi kelib chiqsa, u holda bu metrikalar o‘zaro
ekvivalent deb ataladi.
X metrik fazoda markazi a nuqtada, radiusi r > 0 bo‘lgan B(a, r)
ochiq shar deb, ρ(a, x) < r shartni qanoatlantiruvchi barcha x ∈ X
elementlar to‘plamiga aytiladi. B[a, r] yopiq shar ρ(a, x) ≤ r tengsizligi
yordamida aniqlanadi. a nuqtaning ε-atrofi deb B(a, ε) ochiq sharga
aytamiz.
X metrik fazoning biror E qism to‘plami berilgan bo‘lsin. Agar
x
0
∈ X nuqtaning ixtiyoriy atrofida E to‘plamning kamida bir elementi
mavjud bo‘lsa, u holda x
0
nuqta E to‘plamning urinish nuqtasi deb ata-
ladi. E to‘plamning barcha urinish nuqtalari to‘plami E ning yopilmasi
deb ataladi va [E] ko‘rinishda belgilanadi.
6. Sonlar o‘qida (a, b) intervalning yopilmasi [a, b] segmentdan ibo-
rat.
7. Ratsional sonlar to‘plami Q uchun [Q] = R bo‘ladi.
Agar x
0
∈ X nuqta o‘zining biror atrofi bilan butunlay E to‘plamga
tegishli bo‘lsa, u holda bu nuqta E ning ichki nuqtasi
deb ata-
ladi. E to‘plamning barcha ichki nuqtalari to‘plamning ichi deb ata-
ladi va int(E) ko‘rinishda belgilanadi. Quyidagi munosabat o‘rinlidir:
int(E) ⊂ E ⊂ [E].
Agar x
0
∈ X nuqtaning ixtiyoriy atrofida o‘zidan boshqa E
to‘plamning kamida bitta elementi mavjud bo‘lsa, u holda bu nuqta
E ning limit nuqtasi deb ataladi. E to‘plamning barcha limit nuqtalari
uning hosila to‘plami deyiladi va E
0
orqali belgilanadi. E
0
ning hosila
to‘plamini E
00
orqali belgilaymiz. Shunday qilib, E to‘plamning yuqori
tartibli hosila to‘plamlari aniqlanadi. (n-tartibli hosila to‘plami E
(n)
ko‘rinishda belgilanadi).
x
0
∈ E nuqtaning o‘zidan tashqari E to‘plamning birorta ham
elementi bo‘lmagan atrofi mavjud bo‘lsa, u holda bu nuqta E ning
yakkalangan nuqtasi deb ataladi.
Agar x
0
∈ X nuqtaning ixtiyoriy atrofida E to‘plamga tegishli
bo‘lgan ham, tegishli bo‘lmagan ham nuqtalar mavjud bo‘lsa, u holda
bu nuqta E to‘plamning chegaraviy nuqtasi deb ataladi. E to‘plamning
barcha chegaraviy nuqtalari to‘plami uning chegarasi deb ataladi va ∂E
ko‘rinishda belgilanadi.

§ 3.1. Metrik fazolar
77
Ta’rif. Agar E =[E] tengligi o‘rinli bo‘lsa, u holda E yopiq to‘plam
deyiladi.
Agar to‘plam yopiq bo‘lsa va yakkalangan nuqtaga ega bo‘lmasa, u
holda u mukammal deb ataladi.
Ta’rif. Agar E = int(E) bo‘lsa, u holda E ochiq to‘plam deyiladi.
Ochiq to‘plamlarning quyidagi ayrim asosiy xossalarini keltiramiz:
1) chekli sondagi ochiq to‘plamlarning kesishmasi ochiq to‘plam
bo‘ladi;
2) ixtiyoriy sondagi ochiq to‘plamlarning birlashmasi ochiq to‘plam
bo‘ladi.
Yopiq va ochiq to‘plamlar orasida quyidagi bog‘lanishlar mavjud:
1) ixtiyoriy ochiq to‘plamning to‘liqtiruvchisi yopiq to‘plam bo‘ladi;
2) ixtiyoriy yopiq to‘plamning to‘liqtiruvchisi ochiq to‘plam bo‘ladi.
Agar E ⊂ X to‘plamning har qanday nuqtasining ixtiyoriy atrofida
A to‘plamga tegishli nuqta topilsa, u holda E to‘plami A to‘plamda
zich deb ataladi, ya’ni E to‘plam A to‘plamda zich bo‘lishi uchun A ⊂
[E] bo‘lishi kerak. Agar [E] = X bo‘lsa, u holda E hamma yerda
zich deyiladi. Agar fazoning hamma yerda zich sanoqli qism to‘plami
mavjud bo‘lsa, u holda bu fazo separabel deb ataladi.
Agar X fazodagi ixtiyoriy ochiq shar E ⊂ X to‘plamga tegishli
birorta ham elementi bo‘lmagan boshqa bir ochiq sharni o‘z ichiga
oladigan bo‘lsa, u holda E to‘plam hech bir yerda zich emas deb ata-
ladi. E to‘plamning hech bir yerda zich emasligi int[E] = ∅ tengli-
gini anglatadi. Agar E to‘plami sanoqlicha hech bir yerda zich emas
to‘plamlarning birlashmasida yotsa, u holda bu to‘plam birinchi ka-
tegoriyali to‘plam deyiladi, ya’ni E ⊂
S
n
E
n
, int[E
n
] = ∅. Birinchi
kategoriyali bo‘lmagan to‘plamga ikkinchi kategoriyali to‘plam deyi-
ladi. Ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan ochiq to‘plamostisi ikkinchi kategoriyali
to‘plam bo‘lgan metrik fazoga Ber fazosi deyiladi.
Masalalar
3.1.1.
Elementlari
∞
P
n=1
|x
n
| < ∞ shartni qanoatlantiruv-
chi haqiqiy sonlarning x = {x
n
} ketma-ketliklaridan iborat
to‘plamda masofani
ρ(x, y) =
∞
X
n=1
|x
n
− y
n
|

78
III. Metrik fazolar
ko‘rinishda
kiritsak,
metrika
aksiomalarining
o‘rinli
bo‘lishini tekshiring.
Yechimi. 1) ρ(x, y) =
∞
P
n=1
|x
n
− y
n
| = 0 ⇔ x
n
− y
n
= 0 (n =
1, 2, ...) ⇔ x = y;
2) ρ(x, y) =
∞
P
n=1
|x
n
− y
n
| =
∞
P
n=1
|y
n
− x
n
| = ρ(y, x);
3) ρ(x, y) =
∞
P
n=1
|x
n
− y
n
| =
∞
P
n=1
|x
n
− z
n
+ z
n
− y
n
| ≤
∞
P
n=1
|x
n
− z
n
| +
+
∞
P
n=1
|z
n
− y
n
| = ρ(x, z) + ρ(z, y).
Demak, metrikaning uch aksiomasi ham o‘rinli. Bu metrik fazo `
1
orqali belgilanadi.
3.1.2.
Elementlari x = {x
n
} ixtiyoriy cheksiz ketma-
ketliklardan iborat bo‘lgan to‘plamda metrikani
ρ(x, y) =
∞
X
n=1
1
2
n
|x
n
− y
n
|
1 + |x
n
− y
n
|
ko‘rinishda kiritish mumkinligini isbotlang.
Yechimi.
∞
P
n=1
1
2
n
|x
n
− y
n
|
1 + |x
n
− y
n
|
qator yaqinlashuvchi, chunki n ning
ixtiyoriy qiymatida
1
2
n
|x
n
− y
n
|
1 + |x
n
− y
n
|
<
1
2
n
tengsizligi o‘rinli.
Uchburchak aksiomasini tekshirishdan avval, bir yordamchi tengsiz-
likni isbotlaymiz. Nomanfiy sonlar to‘plamida aniqlangan
f (t) =
t
1 + t
, (f
0
(t) =
1
(1 + t)
2
> 0, ∀ t > 0)
funksiya monoton o‘suvchi funksiya bo‘lgani uchun, a ≤ b bo‘lganda
a
1 + a
≤
b
1 + b
tengsizligi o‘rinli bo‘ladi. Bundan ixtiyoriy x = {x
n
}, y = {y
n
} va
z = {z
n
} elementlari uchun |x
n
−y
n
| ≤ |x
n
−z
n
|+|z
n
−y
n
|, (n = 1, 2, . . .)
bo‘lganligidan,
|x
n
− y
n
|
1 + |x
n
− y
n
|
≤
|x
n
− z
n
| + |z
n
− y
n
|
1 + |x
n
− z
n
| + |z
n
− y
n
|
=
=
|x
n
− z
n
|
1 + |x
n
− z
n
| + |z
n
− y
n
t|
+
|z
n
− y
n
|
1 + |x
n
− z
n
| + |z
n
− y
n
|
≤

§ 3.1. Metrik fazolar
79
≤
|x
n
− z
n
|
1 + |x
n
− z
n
|
+
|z
n
− y
n
|
1 + |z
n
− y
n
|
tengsizligiga ega bo‘lamiz. Bu tengsizliklarni 1
2
n
ga ko‘paytirib, barcha
n lar bo‘yicha qo‘shsak, uchburchak tengsizligiga ega bo‘lamiz:
ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y).
Bu metrik fazo s orqali belgilanadi.
3.1.3. Agar x va y haqiqiy sonlar orasida masofani ρ(x, y) =
sin
2
(x−y) ko‘rinishda aniqlasak, u holda barcha haqiqiy sonlar
to‘plami metrik fazo bo‘ladimi?
Yechimi. Aniqlangan masofa metrikaning birinchi shartini qanoat-
lantirmaydi. Haqiqatan,