Kurs ishi mavzu: bоrеl–lеbеg tеоrеmasi. Chеgaralangan оchiq va yopiq to`plamlar. Kantоr to`plamlari ilmiy rahbari: t nishonov Rеja

Absolyut uzluksiz funksiyalar

Endi absolyut uzluksiz funksiyalar sinfini kiritamiz. Bu funksiyalar sinfi o`zgarishi chegaralangan funksiyalar sinfidan kengroq bo`lib, jamlanuvchi funksiyalarning aniqmas integrali bilan yaqin bog`langan.

1-ta`rif . segmentda aniqlangan funksiya berilgan bo`lsin. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo`lsaki, soni chekli va har ikkisi o`zaro kesishmaydigan har qanday
(1)
segmentlar sistemasi uchun
(2)
shartlar bajarilganda



tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda funksiya segmentda absolyut uzluksiz deyiladi.
Ta`rifdan ravshanki, har qanday absolyut uzluksiz funksiya odatdagi ma`noda ham uzluksiz: buni ko`rsatish uchun yuqoridagi ta`rifda deb olish kifoya .
Absolyut uzluksiz funksiyaga misol sifatida Lipshis shartini, ya`ni

tengsizlikni qanoatlantiruvchi funksiyalarni olishimiz mumkin.
Haqiqatan ham, agar segmentlar sistemasi uchun shartlar bajarilsa, u holda

bo`lib, sonni deb olsak,

bo`ladi.
1-teorema: Agar va funksiyalar absolyut uzluksiz bo`lsa, u holda ularning yig`indisi, ayirmasi va ko`paytmasi ham absolyut uzluksiz bo`ladi.
Agar berilgan segmentda nolga teng bo`lmasa, u holda ham o`sha segmentda absolyut uzluksiz bo`ladi.
Isbot: Yig`indi va ayirmaning absolyut uzluksizligi quyidagi tengsizlikdan bevosita kelib chiqadi:


va lar bilan mos ravishda va larning dagi aniq yuqori chegarasini belgilab,





munosabatlarni yozishimiz mumkin. Bundan esa ko`paytmaning absolyut uzluksizligi kelib chiqadi.