Kurs ishi mavzu: Ko’p o’zgaruvchili funksiyani integrallash. Ikki karrali Riman integrali va xossalari. Topshirdi

2. Ikki karrali Riman integrali

f(x, y) funktsiya (D) ⊂ R² sohada berilgan bo’lsin. Bu sohaning P ∈℘ bo’linishlari va bu bo’linishning har bir (D_k) (k = 1, 2, ..., n) bo’ladigan ixtiyoriy (ξ_k, η_k) (k = 1, 2, ..., n) nuqtani olaylik. Berilgan funktsiyaning (ξ_k, η_k) nuqtadagi qiymati f (ξ_k, η_k) ni D_k (D_k – (D_k) sohaning yuzi)ga ko’paytirib, quyidagi

σ=f (ξ_k, η_k) D_k

yig’indini tuzamiz.

2.1 - ta’rif. Ushbu

σ = f (ξ_k, η_k) D_k (2.1)

yig’indi, f(x, y) funktsiyaning integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deb ataladi.

Misol. 1. f(x, y) = x ∙ y funktsiyaning (D) sohadagi integral yig’indisi

σ = f (ξk, ηk) D_k = ξk ∙ ηk ∙ D_k

bo’ladi, bunda
(ξ_k, η_k) ∈ (D_k) (k = 1, 2, ..., n)
2. Ushbu

funktsiyaning integral yig’indisi quyidagicha bo’ladi:
σ = f (ξ_k, η_k) D_k =

Yuqorida keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki, f(x, y) funktsiyaning itegral yig’indisi σ qaralayotgan f (x, y) funktsiyaga, (D) sohaning bo’linish usuliga hamda

har bir (D_k) dan olingan ξ_k, η_k nuqtalarga bog’liq bo’ladi, ya’ni
σ_P = σ_P (f, ξ_k, η_k).

f(x, y) funktsiya chegaralangan (D) ⊂ R² sohada berilgan bo’lsin. Bu (D) sohaning shunday

P₁, P₂, ..., P_m, ... (2.2)

bo’linishlarini qaraymizki, ularning diametrlari tashkil topgan

ketma-ketlik nolga intilsin: . Bunday bo’linishlarga nisbatan f (x, y) funktsiya integral yig’indilari qiymatlaridan iborat quyidagi

ketma –ketlik hosil bo’ladi. Bu ketma-ketlikning har bir hadi (ξ_k, η_k) nuqtalarga bog’liq.

2.2 – ta’rif. Agar (D) sohaning har qanday (2.2) bo’linishlari ketma-ketligi {P_m} olinganda ham, unga mos integral yig’indi qiymatlaridan iborat {σ_m} ketma-ketlik, (ξ_k, η_k) nuqtalarni tanlab olinishga bog’liq bo’lmagan holda hamma vaqt bitta I songa intilsa, bu I ga σ yig’indining limiti deb ataladi va u

kabi belgilanadi.

Integral yig’indining limitini quyidagicha ham ta’riflash mumkin.

2.3 – ta’rif. Agar son olinganda ham, shunday δ > 0 topilsaki, (D) sohaning diametri < δ bo’lgan har qanday P bo’linishi hamda har bir (D_k) bo’lakdagi ixtiyoriy (f, ξ_k, η_k) lar uchun

tengsizlik bajarilsa, u holda I ga yig’indining limiti deb ataladi va u

kabi belgilanadi.

2.4 – ta’rif. Agar da → 0 da f(x,y) funktsiyaning integral yig’indisi chekli limitga ega bo’lsa, f(x,y) funktsiya (D) sohada integrallanuvchi (Riman ma’noda integrallanuvchi) funktsiya deyiladi.

Bu yig’indining chekli limiti I esa f(x,y) funktsiyaning (D) soha bo’yicha ikki karrali integrali (Riman integrali) deyiladi va u

kabi belgilanadi. Demak,

Birinchi punktda keltirilgan (V) jismning hajmi f(x,y) funktsiyaning (D) soha bo’yicha ikki karrali integralidan iborat ekan.

Misol. 1. f(x,y) = C – const funktsiyaning (D) soha bo’yicha ikki karrali integralini topamiz. Bu funktsiyaning integral yig’indisi

bo’lib, → 0 da bo’ladi. Demak,

Xususan, f(x,y) = 1 bo’lganda

(2.3)

bo’ladi.
2. Ushbu punktda funktsiyasining (D) ⊂ R² sohada integral yig’indisini topgan edik. Uning ifodasi hamda integral ta’rifidan bu funktsiyaning (D) sohada integrallanuvchi emasligi kelib chiqadi.

2.1. – eslatma. Agar f(x,y) funktsiya (D) sohada chegaralanmagan bo’lsa, u shu sohada integrallanmaydi.

3. 
   Ikki karrali integralning mavjudligi va xossalari.
   

3.1. (D) soha bo’linishlarining xossalari.

Faraz qilaylik, ℘ ={P} – (D) soha bo’lishlaridan iborat to’plam bo’lib, bo’lsin.

Agar bo’linishning har bir bo’luvchi chizig’i bo’linishning ham bo’luvchi chizig’i bo’lsa, bo’linish ni ergashtiradi deb ataladi va kabi belgilanadi.
1º. Agar bo’linishlari uchun , bo’lsa, u holda bo’ladi.
2º. bo’lishlari uchun, shunday topiladiki, , bo’ladi.

3.2. Darbu yig’indilarining xossalari.

f(x,y) funktsiya (D) sohada berilgan va chegaralangan bo’lsin. (D) sohaning P bo’linishini olib, bu bo’linishga nisbatan f(x,y) funktsiyaning integral va Darbu yig’indilarini tuzamiz:

1º. olinganda ham nuqtalarni (k = 1, 2, …, n) shunday tanlab olish mumkinki,

bo’ladi.
Bu xossa Darbu yig’indilari , lar integral yig’indi muayyan bo’lishi uchun mos ravishda aniq quyi hamda aniq yuqori chegara bo’lishini bildiradi.

2º. Agar P1 va P2 lar (D) sohaning ikki bo’lishlari bo’lib, bo’lsa u holda

bo’ladi.
Bu xossa (D) sohaning bo’linishidagi bo’laklar soni orta borganida ularga mos Darbuning quyi yig’indisining kamaymasligi, yuqori yig’indisining esa oshmasligini bildiradi.

3º. Agar P1 va P2 lar (D) sohaning ixtiyoriy ikki bo’linishlari bo’lib, , va , lar f(x, y) funktsiyasining shu bo’linishlariga nisbatan Darbu yig’indilari bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Bu xossa, (D) sohaning bo’linishlariga nisbatan tuzilgan quyi yig’indilar to’plami {} ning har bir elementi ({} ning har bir elementidan) yuqori yig’indilar to’plami{} ning istalgan elementidan (quyi yig’indilar to’plami {} ning istalgan elementidan) katta (kichik) emasligini bildiradi.

4º. Agar f(x,y) funktsiya (D) sohada berilgan va chegaralangan bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Bu xossa f(x,y) funktsiyaning quyi ikki karrali integrali, uning yuqori ikki karrali integralidan katta emasligini bildiradi:

5º. Agar f(x,y) funktsiya (D) sohada berilgan va chegaralangan bo’lsa, u holda olinganda ham, shunday topiladiki, (D) sohaning diametri bo’lgan barcha bo’lishlari uchun

,

(3.1)

bo’ladi.
Bu xossa f(x,y) funktsiyaning yuqori hamda quyi integrallari da mos ravishda Darbuning yuqori hamda quyi yig’indilarining limiti ekanligini bildiradi: