Kurs ishi mavzu: Noelementar funksiyalar va ularni tekshirish

Misol. Quyidagi tenglama berilgan bo’lsin:
(1)
Bu tenglamani oshkor funktsiyalar orqali ifodalash talab qilinsin.
Yechilishi. Tenglamani ga nisbatan yechilganda ga nisbatan quyidagi oshkor funktsiya hosil bo’ladi.
.
Bundan va (2)
(3)
Demak, oshkormas funktsiyani ifodalovchi (1) tenglama ikkita (2) va (3) oshkor funktsiyalardan iborat ekan. Bunday holda, (1) tenglama ikki qiymatli funktsiyani ifodalaydi deyish mumkin.


4. Elementar va elementar bo’lmagan funktsiyalar
Ko’phadlar, rasional funktsiyalar, ko’rsatkichli, logorifmik, trigonometrik va teskari trigonometrik funktsiyalar, shuningdek, bu funktsiyalardan to’rt arifmetik amal, rasional darajaga ko’tarish va chekli marta qo’llanilgan superpozisiyalar natijasida hosil qilinadigan funktsiyalarga elementar funktsiyalar; bu qonuniyatlarga bo’ysinmaydigan funktsiyalarga esa elementar bo’lmagan funktsiyalar deyiladi.
Funktsiyaning superpozisiyasi deyilganda, funktsiyaning argumenti o’rniga boshqa argumentga bog’liq bo’lgan funktsiyani qo’yish tushuniladi. Masalan, va funktsiyalarning superpozisiyasidan iborat bo’lgan tenglik bunday yoziladi: .
Navbatdagi paragrafda elementar funktsiyalar sinfiga tegishli bo’lgan hamda ko’p ishlatiladigan ba’zi asosiy funktsiyalar bilan alohida –alohida tanishamiz.

5. Funksiya limiti

Matematikaning muxim tushunchalaridan biri limit bo’lib, uning yordamida egri chiziqqa urinma, egri chiziq yoyi uzunligi, xosila, aniq integral kabi juda ko’p tushunchalar kiritiladi.
Ta‘rif: Agarda ixtiyoriy oldindan berilgan >0 son uchun unga bog’liq shunday =()>0 topilsaki, 0<|x-a|< shartni qanoatlantiruvchi har qanday xD{f} uchun |f(x)-A|< tengsizlik o’rinli bo’lsa, A soni y=f(x) funksiyaning xa bo’lgandagi limiti deb ataladi va bu tasdiq
f(x)=A
ko’rinishda yoziladi.
Misol sifatida, x²=9 ekanligini ko’rsatamiz. Bu yerda x3 bo’lgani uchun 20 uchun
|f(x)-A|=|x²-9|=|x+3||x-3|<7|x-3|<
tengsizlik o’rinli bo’lishi uchun x-3</7, ya’ni ()=/7 deb olish mumkin. Demak, limit ta’rifiga asosan yuqoridagi tenglik o’rinli bo’ladi.
Ta‘rif: y=f(x) funksiya xa bo’lganda cheksiz (+ yoki -) limitga ega deyiladi, agarda har qanday katta N>0 son uchun shunday =(N)>0 con mavjud bo’lsaki, 0<|x-a|< shartni qanoatlantiruvchi har qanday xD{f} uchun |f(x)|>N tengsizlik o’rinli bo’lsa.
Ta’rifdagi tasdiq f(x)= ko’rinishda yoziladi.