Kurs ishi mavzu: Noelementar funksiyalar va ularni tekshirish

Masalan, (x³-8)^-2= ekanligini ko’rsatish mumkin.


TA’RIF A soni y=f(x) funksiyaning x bo’lgandagi limiti deyiladi, agarda har qanday kichik >0 son uchun shunday katta M=M()>0 son mavjud bo’lsaki, |x|>M shartni qanoatlantiruvchi barcha xD{f} uchun |f(x)-A|< tengsizlik o’rinli bo’lsa.
Bu tasdiq f(x)=A ko’rinishda yoziladi.
Masalan, =1 ekanligini ko’rsatamiz. Ixtiyoriy kichik >0 uchun |f(x)-A|=| -1|=|1/x|< tengsizlik bajarilishi uchun, |x|>^-1, ya’ni M()=^-1 deb olishimiz mumkin. Bu yerdan, ta’rifga asosan, yuqoridagi tenglik o’rinli ekanligi kelib chiqadi.


TA’RIF y=f(x) funksiyaning x bo’lgandagi limiti cheksiz deyiladi, agarda har qanday katta N>0 soni uchun shunday M=M(N) son mavjud bo’lsaki, |x|>M shartni qanoatlantiruvchi barcha xD{f} uchun |f(x)|>N tengsizlik o’rinli bo’lsa. Ta’rifdagi tasdiq f(x)= ko’rinishda yoziladi.
Masalan : x³=, x²=+ ekanligi ta’rif bo’yicha isbotlash mumkin.
Ba’zi hollarda funksiyaning chap va o’ng limiti tushunchalari kerak bo’ladi.


TA’RIF y=f(x) funksiyaning argumenti x qandaydir a soniga faqat chap (xa) tomondan yaqinlashib borganda funksiya limiti biror A₁ yoki A₂ sonidan iborat bo’lsa, y funksiyaning a nuqtadagi chap yoki o’ng limiti deb ataladi va f(x)=A₁ yoki f(x)=A₂ ko’rinishda yoziladi.
Masalan : sgnx= funksiya uchun A₁= sgnx=-1, A₂= sgnx=1.
Agarda biror a nuqtada u=f(x) funksiya A limitga ega, ya’ni f(x)=A bo’lsa, u holda A₁=A₂=A tenglik o’rinli bo’lishi chap va o’ng limit ta’rifidan kelib chiqadi. Aksincha, agar chap va o’ng limitlar teng bo’lsa, u holda limitning ta’rifidan funksiya limiti mavjudligi kelib chiqadi. Shuni ta’kidlab o’tish kerakki, funksiya limiti har doim ham mavjud bo’lavermaydi. Masalan, y=sgnx funksiya x0 bo’lganda limitga ega emas, chunki bu holda A₁=-1 va A₂=1 bo’lib, A₁A₂. Ammo bu funksiya xa , a0, bo’lganda 1 yoki –1 limitga egadir.
Agar xa bo’lganda funksiya limiti mavjud bo’lsa, u holda bu limit yagona bo’ladi.
Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni funksiya xa shart ostida ikkita A va B limitlarga ega bo’lsin.Limit ta’rifiga ko’ra, har qanday kichik >0 son uchun shunday ₁=₁()>0 va ₂=₂()>0 sonlar topiladiki, 0<|x-a|<₁ va 0<|x-a|<₂ shartlarda |f(x)-A|</2 va |f(x)-B</2 tengsizliklar bajariladi. Agar =min(₁, ₂) deb olsak 0<|x-a|< bo’lganda |A-B|=|A- f(x)+ f(x)+B| |f(x)-A|+ |f(x)-B|</2+/2=. Tengsizlik o’rinli bo’ladi. bu yerda  ixtiyoriy kichik son bo’lganidan va A, B sonlar x ga bog’liq emasligidan |A-B|=0, ya’ni A=B ekanligi kelib chiqadi. Demak funksiya limiti mavjud bo’lsa, u faqat yagona bo’ladi.
Limitlarga doir turli tasdiqlarni isbotlashda cheksiz kichik miqdor va ularning xossalari muxim ahamiyatga ega.
TA’RIF (x) funksiya xa (|a|< yoki a=) bo’lganda cheksiz kichik miqdor deb ataladi, agarda (x)=0 shart bajarilsa.