Kurs ishi mavzulari

Kurs ishi mavzulari

1. Тўпламлар ва улар устида амаллар. Акслантиришлар. Эквивалентлик муносабатлари. Саноқли тўпламлар. Тўпламларнинг эквивалентлиги. Кантор-Бернштейн теоремаси. Тўпламлар қуввати. Саноқли ва континуум қувватли тўпламлар.

2. Қисман тартибланган тўпламлар. Тартибланган тўпламлар. Тўпламлар системаси. Тўпламлар ҳалқаси ва алгебраси. Ярим ҳалқа. Минимал ҳалқа. σ – ҳалқа ва σ- алгебра. Минковский ва Гёльдер тенгсизликлари.

3. Метрик фазолар. Метрик фазоларда узлуксиз акслантиришлар. Тўпламлар ёпиғи. Яқинлашишлар. Метрик фазолардаги очиқ ва ёпиқ тўпламлар.

Тўла ва сепарабел метрик фазолар. Ичма-ич жойлашган шарлар принципи. Бэр теоремаси. Метрик фазоларни тўлдириш ҳақидаги теорема.

4. Қисқартириб акс эттириш принципи ва унинг тадбиқлари. . Компакт ва нисбий компакт тўпламлар. Компакт метрик фазолар. Метрик фазода боғланиш. C(К) фазо учун Арцела теоремаси (К компакт).

5. Қўшма операторлар.

6. Операторларнинг текис ва кучли яқинлашиши. Текис чегараланганлик принципи.

7. Операторлар спектри. Резольвента.

8. Спектр ҳақида теорема. Чизиқли операторларнинг спектрал радиуси.

9. Евклид фазосида қўшма операторлар. Ўз-ўзига қўшма операторлар. Ўз-ўзига қўшма операторлар хос қийматлари ва спектри.

10. Компакт операторлар ва уларнинг хоссалари.

11. Фредгольм интеграл тенгламалари.

12. Текисликда элементар тўпламлар ва уларнинг ўлчови.

13. Текисликдаги тўпламлар ташқи ўлчови ва унинг хоссалари. Лебег ўлчови ва унинг хоссалари.

14. Ўлчов таърифи ва унинг хоссалари. Ўлчовнинг саноқли аддитивлик ва узлуксизлик хоссалри. Ўлчовсиз тўпламга мисол. Борель тўпламлари.

15. Ўлчовнинг умумий таърифи. Ўлчовни давом эттириш. Ўлчовни Лебег схемаси бўйича давом эттириш.

16. Ўлчовли функциялар ва уларнинг асосий хоссалари. Ўлчовли функциялар устида амаллар.

17. Ўлчовли функциялар кетма-кетлигининг деярли яқинлашиши. Егоров теоремаси. Ўлчов бўйича яқинлашиш. Лебег ва Рисс теоремалари. Лузин теоремаси.

18. Содда функциялар учун Лебег интеграли.

19. Чекли ўлчамли тўпламларда Лебег интеграли. Лебег интеграли ва унинг хоссалари.

20. Лебег интегралининг саноқли аддитивлик ва абсолют узлуксизлик хоссалари. Интеграл остида лимитга ўтиш.

21. Чексиз ўлчамли тўпламларда Лебег интеграли. Лебег ва Риман интегралини солиштириш.

22. Чизиқли фазо ва мисоллар. Чекли ва чексиз ўлчамли чизиқли фазолар. Қисм фазолар ва фактор фазолар.

23. Чизиқли функционаллар ва уларнинг геометрик маъноси.

24. Қавариқ тўпламлар ва қавариқ функционаллар. Минковский функционали. Хан-Банах теоремаси.

25. Нормаланган фазо ва мисоллар. Нормаланган қисм фазолар ва фактор фазолар.

26. Нормаланган фазода қаторлар. фазо.