Курс лекций по высшей математике: Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Решение:
Обозначив через общий член ряда, будем иметы
На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (и притом абсолютно), если  т. е. при ряд расходится, если  т. е. если  или  (рис. 104). При
получаем гармонический ряд  К0Т0РЫЙ расходится, а при  ряд  который (в соответствии с признаком Лейбница) сходится (неабсолютно).
Итак, ряд сходится при 
Степенные ряды
Для всякого степенного ряда

и  — действительные числа) существует такой интервал (интервал сходимости)  с центром в точке  внутри которого ряд (3) сходится абсолютно; при  ряд расходится. Радиус сходимости

может быть в частных случаях равен также 0 и о В концевых точках интервала сходимости  возможна как сходимость, так и расходимость степенного ряда. Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши, применяя их к ряду, членами которого являются абсолютные величины членов данного ряда (3). Применив к ряду абсолютных величин

признаки сходимости Даламбера и Коши, получим для радиуса сходимости степенного ряда (3) соответственно формулы 
Однако пользоваться ими следует весьма осторожно, так как пределы, стоящие в правых частях этих формул, часто не существуют. Так, например, если бесконечное множество коэффициентов  обращается в нуль (это, в частности, имеет место, если ряд содержит члены только с четными или только с нечетными степенями  то пользоваться указанными формулами нельзя. В связи с этим рекомендуется при определении интервала сходимости применять признаки Даламбера или Коши непосредственно, как это сделано выше при исследовании ряда (2), не прибегая к общим формулам для радиуса сходимости. Если  комплексное переменное, то для степенного ряда

существует некоторый круг (круг сходимости)  с центром в точке  внутри которого ряд сходится абсолютно; при  ряд расходится.
В точках, лежащих на самой окружности круга сходимости, ряд (4) может как сходиться, так и расходиться.
Круг сходимости обычно определяют с помощью признаков Даламбера или Коши, примененных к ряду

членами которого являются модули членов данного ряда. Так, например, с помощью признака Даламбера легко обнаружить, что круг сходимости ряда

определяется неравенством  (достаточно повторить приведенные на стр. 288 выкладки, служившие для определения интервала сходимости ряда (2), заменив лишь  на ). Центр круга сходимости находится в точке  а радиус  этого круга (радиус сходимости) равен 2.