Курс лекций по высшей математике: Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Функциональные ряды
Содержание:

1. 
   Область сходимости и равномерная сходимость функционального ряда
   
2. 
   Интегрирование функциональных рядов
   
3. 
   Дифференцирование функциональных рядов
   
4. 
   Пример с решением
   
5. 
   Степенные ряды
   

Область сходимости и равномерная сходимость функционального ряда
Здесь мы будем рассматривать функциональные ряды, членами которых являются функции одной действительной переменной.
Множество всех значений  для которых функциональный ряд

сходится, называется областью сходимости ряда (1).
Если ряд (1) сходится в области  то его сумма также будет функцией, определенной в области  Обозначая ее через  в этом случае можно написать:

Кроме того, очевидно, в этом случае имеем:

где, подобно числовым рядам,

и называется  частичной суммой, а

остаточным членом ряда (1).
Из равенства (2) видно, что при каждом значении  из области сходимости ряда имеем:

и, следовательно, для любого  существует такой номер  что для всех  в этой точке  будет верно неравенство

Здесь следует обратить внимание на то, что  для одного и того же  может быть разным в разных.точках  из области сходимости ряда. Требование, чтобы для каждого  существовал номер  общий для всех  является более сильным, чем требование сходимости ряда на множестве 
Если для любого  существует такой номер  не зависящий от  что для всех  верно неравенство

для всех  из множества  то данный функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве 
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Приведем пример, подтверждающий, что ряд может быть сходящимся в некоторой области и не быть равномерно сходящимся в этой области.
Рассмотрим ряд

в полуинтервале 
При все члены данного ряда равны 0, поэтому ряд сходится и его сумма тоже равна 0. При  имеем:  откуда следует, что данный ряд в интервале (0,1) сходится и его сумма как сумма убывающей геометрической прогрессии равна 
Итак, данный ряд в полуинтервале  сходится и его сумма есть функция

Докажем, что рассматриваемый ряд в полуинтервале  сходится неравномерно.
В самом деле, для  имеем:

откуда видно, что при любом, как угодно большом, но фиксированном 

Следовательно, если  то каким бы большим номер  мы ни выбрали, неравенство

не будет верным для всех  так как при любом фиксированном  найдутся точки достаточно близкие к 0, для которых  будет настолько близким к 1, что окажется большим 

Признак равномерной сходимости ряда выражается следующей теоремой.

Теорема Вейерштрасса. Если на множестве  члены функционального ряда по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда положительных чисел, то данный функциональный ряд на множестве  сходится равномерно.
Доказательство. Пусть

есть сходящийся ряд положительных чисел и для всех членов функционального ряда

верно

при любом 
Из сходимости ряда (3) и неравенств (4) на основании принципа сравнения рядов заключаем, что ряд

сходится при любом  Это означает, что функциональный ряд (1) на множестве  сходится абсолютно.
Докажем, что на множестве ряд (1) сходится равномерно.
Возьмем произвольное В силу сходимости ряда (3) найдется такое  что для всех 
верно неравенство

Но для всех 

Поэтому

для всех  при всех значениях  из множества А это и означает, что на множестве  ряд (1) сходится равномерно. Непрерывность суммы функционального ряда