Курс лекций по высшей математике: Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Доказательство. Прежде всего заметим, что интегралы  для всех  и  существуют,
так как на отрезке  функции  и  непрерывны:  —по условию, a  — как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.
Поэтому остается только доказать, что при данных условиях верно равенство (2).
Возьмем произвольное  Так как ряд (1) на отрезке  сходится равномерно, то найдется такое  что для любого  будет верно неравенство

при всех значениях  из отрезка  Представим сумму  ряда (1) в виде

где 
Правая часть равенства  есть сумма двух непрерывных на отрезке  функций;  непрерывна как сумма конечного числа непрерывных функций, а функция  непрерывна как разность непрерывных функций. Поэтому

так как конечную сумму непрерывных функций [здесь сумму двух функций  можно интегрировать почленно. Отсюда

Но в силу неравенства (3) для всех 

Поэтому

для всех 
Следовательно,

Учитывая, что для конечной суммы

мы имеем:

равенство (4) мы можем представить в виде

А это означает, что интеграл  есть предел частичной суммы ряда

при 
Следовательно, ряд (5) сходится и его сумма равна ь
интегралу  т. е. верно равенство (2).
Этим теорема доказана полностью.
Дифференцирование функциональных рядов
В дифференциальном исчислении доказывается, что сумма конечного числа дифференцируемых функций дифференцируема и производная (дифференциал) суммы равняется сумме производных (дифференциалов) слагаемых. Это утверждение не распространяется на произвольные сходящиеся ряды.
Здесь мы докажем теорему, которая дает условия, достаточные для дифференцируемости суммы ряда и для того, чтобы получить правильный результат при вычислении производной (дифференциала) суммы ряда путем почленного дифференцирования ряда.
Теорема. Если на отрезке  члены сходящегося функционального ряда

имеют непрерывные производные  и ряд производных  сходится равномерно, то на этом отрезке сумма данного ряда (1) дифференцируема и производная суммы  может быть получена почленным дифференцированием ряда:

Доказательство.  Сумму ряда который по условию на отрезке  равномерно сходится, обозначим через 

На основании теоремы об интегрировании функциональных рядов имеем:

где  — любая точка отрезка  Но

Поэтому равенство (3) можно записать в виде

Так как правую часть (З7) можно рассматривать как результат вычитания сходящихся рядов

то имеем:
откуда 
Соотношение (4) выражает  в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых имеет производную по 

как производная постоянной величины и

так как производная интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна подынтегральной функции при верхнем пределе, а  как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна.
Следовательно,  имеет производную в любой точке  отрезка причем

т. е. верно равенство (2).

Пример с решением
Определить область сходимости ряда