Курсовая работа по дисциплине «Алгебра и теория чисел»

§1. Кривые второго порядка

Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат xOy уравнением:

a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃ = 0 (1.1)
Если хотя бы один из коэффициентов a₁₁, a₁₂, a₂₂ отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.
Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка Г существует такая декартова прямоугольная система координат XO’Y, что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов:
1) , а  b  0 – эллипс,
2) – мнимый эллипс,
3) – две мнимые пересекающиеся прямые (точка),
4) – гипербола,
5) – две пересекающиеся прямые,
6) Y² = 2pX – парабола,
7) X² = a², , – две параллельные прямые,
8) X² = – a², , – две мнимые параллельные прямые,
9) X² = 0 – две совпадающие прямые.
В этих уравнениях a, b, p – положительные параметры.
Систему координат XO’Y назовем канонической системой координат, а систему координат xOy – общей системой координат.
Функция A(x, y) = a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² называется квадратичной формой, соответствующей уравнению (1.1). Характеристическим уравнением квадратичной формы A(x, y) называется уравнение
, (1.2)
а корни уравнения (1.2) называют характеристическими числами квадратичной формы A(x, y). Характеристическое уравнение (1.2) записывается в виде:
² – (a₁₁ + a₂₂) + (a₁₁a₁₂) + (a₁₁a₂₂ – a₁₂²) = 0 (1.3)
и имеет дискриминант:
D = (a₁₁ + a₂₂)² – 4(a₁₁a₂₂ – a₁₂²) = (a₁₁ – a₂₂)² + 4a₁₂². (1.4)
Всегда D  0 и характеристические числа квадратичной формы A(x, y) находятся по формуле:
. (1.5)
В общем случае характеристическое уравнение (1.3) запишем в виде:
² – I₁ + I₂ = 0, (1.6)
где
(1.7)
. (1.8)