Курсовая работа по дисциплине «Алгебра и теория чисел»

Обозначим:
(1.9)
. (1.10)
Значения I₁, I₂, I₃ не меняются при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой, полученной в результате поворота осей координат и переноса начала координат, то есть являются инвариантами кривой Г относительно поворота осей координат и переноса начала.
Значение К является инвариантом кривой Г только относительно поворота осей координат.
Теорема 2. Для любой кривой второго порядка Г существует угол  и числа такие, что с помощью преобразования поворота осей координат и переноса начала координат
(1.11)
уравнение (1.1) приводится к одному из трёх следующих видов:
, если I₂  0; (1.12)
, если I₂ = 0, I₃  0; (1.13)
, если I₂ = 0, I₃ = 0. (1.14)
где I₁, I₂, I₃ K – определены формулами (1.7) – (1.10) соответственно, а ₁ и ₂ – корни характеристического уравнения (1.6).
Для эллипса ₁ – меньший по абсолютной величине корень характеристического уравнения.
Для гиперболы ₂ – корень характеристического уравнения, знак которого совпадает со знаком I₃.

§2. Классификация кривых второго порядка

В зависимости от значения инварианта I₂ принята следующая классификация кривых второго порядка.
Если I₂  0, то кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа;
Если I₂ = 0, то кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа;
Если I₂  0, то кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.
Кривая второго порядка Г называется центральной, если I₂  0.
Кривые эллиптического и гиперболического типа являются центральными.
Центром кривой второго порядка Г называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой кривой расположены парами симметрично. Точка С(x₀, y₀) является центром кривой второго порядка, определяемой уравнением (1.1), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям:
(2.1)
Определитель этой системы равен I₂. Если I₂  0, то система имеет единственное решение. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:
, (2.2)
Из теорем 1 и 2 получается следующая классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов:

1. 
   Эллипс I₂  0, I₁I₃  0
   
2. 
   Мнимый эллипс I₂  0, I₁I₃  0;
   
3. 
   Две мнимые пересекающиеся прямые (точка) I₂  0, I₃ = 0;
   
4. 
   Гипербола I₂  0, I₃  0;
   
5. 
   Две пересекающиеся прямые I₂  0, I₃ = 0;
   
6. 
   Парабола I₂ = 0, I₃  0;
   
7. 
   Две параллельные прямые I₂ = 0, I₃ = 0, K < 0;
   
8. 
   Две мнимые параллельные прямые I₂ = 0, I₃ = 0, K  0;
   
9. 
   Две совпадающие прямые I₂ = 0, I₃ = 0, K = 0.