Квадратик таққослама

Квадратик таққослама
Таьриф. Ушбу
ах² + b x + c 0 ( mod m), (1)
кўринишдаги таққослама квадратик таққослама дейилади.
Бу ерда а сони m га бўлинмайди.

Теорема. (1) кўринишдаги квадратик таққосламани ҳар доим

х ² d ( mod m₁ ) (2)
кўринишга келтирш мумкин.
Ҳақиқатан , (1) нинг иккала қисмини ва ва модулини 4*а га кўпайтирсак ( бунга ҳаққимиз бор, чунки таққослама хоссасига кўра ):
4а² х² + 4 а b х + 4ас 0 ( mod 4m*a)
ёки
(2ах +b) ² – b² + 4ac 0 ( mod 4m*a) ,
у = 2ах + b десак, охирги таққослама
у² b² – 4ac ( mod 4 m*a) (3)
кўринишга келади . Нихоят b² – 4ac = d , 4*m*a = m₁ белгилаш киритиб,
у² d ( mod m₁ ) (4)
таққосламани ҳосил қиламиз. (1) нинг ҳар бир ечими (4) ни ҳам қаноатлантиради. Лекин (4) ҳар бир ечими (1) нинг ҳам ечими бўлавермайди. Шунинг учун (4) нинг ечимлари орасидан (1) нинг ҳам ечими бўладиганларини ажрата олиш керак . Бунинг учун эса
х = (у-b)/ 2а
нисбат бутун сон эканлигига қараш керак, яьни нисбат бутун сон бўлса , (4) қаноатлантирувчи ечим (1) нинг ҳам ечими бўлади. Одатда мисоллар ечишда (1) дан (4) га ўтишда, таққосламанинг чап қисмини бирор ифоданинг тўла квадрати шаклига келтириб олиш лозим.
Мисол 6. Қуйидаги
4х² – 11х -3 0 (mod 13)
квадрат таққослама ечимини топинг.
Ечиш . 11 24 (mod 13) , 3 16 ( mod 13 ) , бўлгани учун
4 х² - 24 х -16 0 (mod 13)
тенглик ўринли бўлади. Таққослама хоссасига кўра
ЭКУБ( 4,13)=1
бўлганидан 4- га қисқартириш мумкин, яьни
х² – 6х – 4 0 ( mod 13) ёки ( х-3)² -13 0 (mod 13)
охирги таққослама ҳам (х-3)² 0 (mod 13) тенг кучли бўлиб,
жавоб :
х 3 ( mod 13).