Квадратик таққослама

Таьриф. Агар ЭКУБ ( а, m) =1 бўлганда х² а ( mod m) таққослама ечимга эга бўлса, а- га m модуль бўйича квадратик чегирма , акс ҳолда а -га m модуль бўйича квадратик чегирмамас дейилади.

Айтайлик, ушбу

х ² а ( mod р) , ( 5)
таққослама берилган. Бу ерда ЭКУБ (а, р) =1, ЭКУБ( 2, р)=1 бўлиб, р – туб сон бўлсин. Бундай хусусиятдаги квадратик чегирмалар учун қуйидаги тасдиқ ўринли.
Тасдиқ-1. (5) кўринишдаги квадратик чегирмада ( р-1 )/2 таси квадратик чегирма ва яна шунча сондагиси квадратик чегирмамас бўлади.
Туб модулли квадратик таққосламаларни модули етарлича кичик бўлганда қуйидаги усул бўйича ҳисоблаш мумкин. Бунинг учун р -модуль бўйича чегирмаларнинг келтирилган системасидаги:
1, 2, 3,…… (р-1)/2
(худди шундай манфий ишоралиларини ҳам ёзилган деб тушуниш керак) ҳар бир чегирмани кетма-кет (5) га қўйиб ўтирмасдан х- ни 1, 2,3,…. (р-1)/2 лар билан алмаштириш кифоя . Бундай холда (5) нинг чап томонида
1² , 2², 3³ , …… , (( р-1 )/2)²
сонлар ҳосил бўлади.
Мисол 7. 11 модуль бўйича энг кичик мусбат квадратик чегирмаларни топинг.
Ечиш. Бизда р = 11 , у ҳолда (11-1)/2 =5 бўлганидан , 1, 2,3,4,5 ларнинг квадратларини қараб чиқамиз :
1² 1( mod 11), 2² 4 ( mod 11) , 3² 9( mod 11) , 4² 5( mod 11) ,
5² 3( mod 11) .
Демак, 11 модуль буйича квадрат чегирмалар 1,4,9,5,3 лар бўлиб; 2,6,7,8,10 лар квадрат чегирмамаслар бўлади.
Умуман қуйидаги тасдиқ ўринли: Агар (5) таққослама ечимга эга бўлса, у ҳолда ечим иккита бўлади.
Қуйидаги Эйлер критерияси деб аталувчи критерия эса (5) кўринишдаги квадрат таққослама ечимга эга ёки эга эмаслигини аниқлайди.
Теорема (Эйлер). Агар ЭКУБ ( а, р)=1 бўлиб ,

а ^{(р-1) / 2} 1 (mod p) ўринли бўлса , (5) таққослама иккита ечимга эга бўлади,

а ^{(р-1) / 2} -1 (mod p) ўринли бўлганда эса (5) таққослама бирорта ҳам ечим йўқ.

Лекин, бу критериянинг камчилик томони шундаки, ушбу

х ² а (mod p) , ЭКУБ (а, р) =1

таққосламада р – туб сон етарлича катта бўлса, бу таққосламани ечиш масаласи мураккаблашади. Бундай холларда L( а / р) кўринишда белгиланувчи ва Лежандр символи деб аталувчи қуйидагича символдан фойдаланилади.
Таьриф. Қуйидаги шартларни қаноатлантирувчи символ:
1, агар а сон р тоқ туб модуль бўйича квадрат чегирма бўлса;
L(а / р) =
-1, агар а сон р тоқ туб модуль бўйича квадрат чегирмамас бўлса.

Лежандр символи деб аталади. Бу ерда а сони Лежандр символининг сурати, р эса унинг махражи дейилади. Шунингдек

L(а / р) = 0 , агар а 0 ( mod p) бўлса,
у ҳолда берилган х ² 0 (mod p) таққослама кўринишда бўлиб, бу таққосламанинг ечими х 0 (mod p) бўлади. Шу ҳолда ва фақат шу ҳолдагина берилган таққослама ноль ечимга эга бўлади.
Мисол 7. Қуйидаги
х ² 7 ( mod 19)
таққослама ечими бор ёки йўқлиги кўрсатилсин.
Ечиш. Бизда а =7, р =19 , ЭКУБ (7, 19) =1 бўлиб, Эйлер критериясига кўра :

5. 
   ^{(19-1) / 2} 1 ( mod 19)
   

бўлгани учун 7 сон 19 модуль бўйича квадратик чегирмадир, яьни
L( 7/ 19) =1 .