Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball
Download 3.43 Kb. Pdf ko'rish
|
Удовольствие от x. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мире
|
В С Е О Ч И С Л Е e
увеличится на коэффициент 1,01, возведенный в 100-ю степень, что приблизительно равно 2,70481. Другими словами, вместо 2000 или 2250 долларов на вашем счете будет бо2льшая сумма, но не превышающая 2704,81 доллара. И наконец, если сложный процент начисляется бесконечно часто (это называется непрерывным начислением), то общая сумма на счете по ис- течении одного года будет еще больше, но не превысит 2718,28 доллара. Точный ответ: это произведение 1000 долларов на число е, где е опреде- ляется как предельное число е = lim n 1 n n 2,71828... Это наиболее существенный вычислительный аргумент в пользу чис- ла е. Как говорилось в предыдущих главах, где мы вычисляли площадь круга и размышляли о притяжении Земли к Солнцу, дифференциаль- ное и интегральное исчисления, основанные на исчислении бесконечно малых, от других разделов математики отличаются тем, что стремятся обуздать ужасающую власть бесконечности. Имея дело с пределами про- изводных или интегральных сумм, необходимо всегда очень осторожно подходить к бесконечности. В процессе приближения к пределу, который вел к e, мы разделили год на все возрастающее число периодов начисления сложных процентов. Можно сказать, разбили его на временны2е окошки, которые становились все у 2же и у 2же, и в конечном счете подошли к тому, что можно описать как бесконечное множество бесконечно узких окошек. Забавно, что чем чаще в течение определенного периода начисляется процент по вкладу, тем медленнее растут деньги. Тем не менее через год по-прежнему набе- гает приличная сумма процента, потому что он многократно умножался на протяжении бесконечно многих периодов! Таков ключ к вездесущности e. Оно часто возникает, когда что-то меняется в результате суммарного действия множества крошечных воз- действий. В Р Е М Я П Е Р Е М Е Н 158 Рассмотрим кусочек урана в процессе радиоактивного распада. Момент за моментом каждый атом имеет определенный маленький шанс подвер- гнуться распаду. Произойдет ли это с каждым из них и когда — совер- шенно непредсказуемо, и каждое такое событие оказывает в целом бес- конечно малое влияние. И все же в совокупности эти триллионы собы- тий создают сглаженный, предсказуемый, экспоненциально затухающий процесс радиоактивного распада. Или подумайте о населении Земли, которое растет в геометрической прогрессии. Во всем мире дети рождаются в случайных местах в не- предсказуемые моменты, пока другие люди умирают тоже в случайных местах в непредсказуемые моменты. Каждое событие имеет мизерное в процентном отношении воздействие на демографическую ситуацию в мире, но в совокупности население растет в геометрической прогрес- сии с очень предсказуемой скоростью. Есть еще одна причина для появления e, сочетающая в себе огромное число вариантов выбора. Для ее иллюстрации приведу два примера из повседневной жизни, хотя и в очень стилизованной форме. Представьте себе, что популярный новый фильм показывают в мест- ном кинотеатре. Это романтическая комедия, и сотни пар (намного больше, чем может вместить кинотеатр) выстроились в кассу в очередь за билетами, хотя и отчаялись попасть внутрь. Как только счастливая пара получает билеты, она пробирается в зал и ищет два места рядом. Для простоты предположим, что влюбленные выбирают эти места наугад, там, где есть свободные. Другими словами, они не заботятся о том, будут ли сидеть близко к экрану или далеко от него, на проходе или в середине ряда. Пока они рядом друг с другом, они счастливы. Допустим, ни одна пара не будет пересаживаться, чтобы освободить место для другой. После того как молодые люди уселись, они никуда не передвигаются. Полное отсутствие вежливости. Зная это, кассир пре- кращает продавать билеты после того, как остается только одно свобод- ное место. В противном случае начались бы драки. Сначала, пока в кинотеатре довольно пусто, не возникает никаких проблем. Каждая пара легко находит два места рядом. Но через какое-то |
