Лабораторная работа №3 приближенное вычисление определенных интегралов. Методы прямоугольников и метод симпсона

Лабораторная работа № 3

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. МЕТОДЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ И МЕТОД СИМПСОНА

Цель работы. Вычислить численно определенный интеграл вида
 , где
- а, b – нижний, верхний пределы интегрирования соответственно; *9
- f(х) - непрерывная функция на отрезке [а, b].
с помощью методов левых, правых, средних прямоугольников, трапеций и Симпсона. Оценить погрешность полученных результатов.


Постановка задачи

1. 
   С помощью различных сред программирования (MathCad, MATLAB) найти приближенное значение определенного интеграла функции f(x) на интервале [a, b] при заданном числе промежутков интегрирования n .
   
2. 
   Приближенное значение интеграла определить с помощью методов левых, правых, средних прямоугольников, трапеций и Симпсона.
   
3. 
   Оценить погрешность вычисления приближенного интеграла.
   

Содержание отчета

1. 
   Постановка задачи.
   
2. 
   Теоретические сведения.
   
3. 
   Ручной счет с использованием формул средних прямоугольников, трапеций.
   
4. 
   Листинги счета на ЭВМ.
   

Теоретические сведения
К численному интегрированию обращаются, когда нельзя через элементарные функции аналитически записать первообразную интеграла
 , (1)
или, когда подобная запись имеет сложный вид.
Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции f(х) аппроксимирующей функцией φ(х), для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, т. е.
 , (2)
где
S - приближенное значение интеграла;
R - погрешность вычисления интеграла.
Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции. Дадим краткую характеристику групп наиболее распространенных методов.
Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции. Алгоритмы методов просты и легко поддаются программной реализации.
Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами, представляющими собой кусочный полином. Методы различаются по типу выбранных сплайнов.
В методах наивысшей алгебраической точности используют неравноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных функций при заданном количестве узлов.
В методах Монте-Карло узлы выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. Методы оказываются эффек­тивными при вычислении большой кратности.
В класс специальных группируются методы, алгоритмы которых разра­батываются на основе учета особенностей конкретных подынтегральных функций.
Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение  интеграла (1) и оценить погрешность R. Погрешность будет уменьшаться при увеличении количества разбиений n интервала интегрирования [а, b] за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции, однако при этом будет возрастать погрешность за счет суммирования частичных интегралов, и последняя погрешность с некоторого значения n₀ становится преобла­дающей. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа n и привести к необходимости разработки способа оценки погрешности R выбранного метод интегрирования.
Методы прямоугольников. Рассмотрим сначала простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию f(x) на интервале интегрирования заменяем полиномом нулевой степени. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке в интервале интегрирования. Приближенное значение интеграла определится как площадь прямоугольника, одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая - аппроксимирующая константа.



Рис. 1. Метод левых прямоугольников. Рис.2. Метод правых прямоугольников

Методы левых (рис. 1) и правых прямоугольников (рис. 2) имеют сравнительно высокую погрешность. Запишем выражение для интеграла на интервале [х_i, х_i+ h], полученное методом средних прямоугольников

 (3)
где  , R =  , и оценим погрешность R. Для этого разложим подынтегральную функцию f(х) в ряд Тейлора около средней точки 
 (4)
в малой окрестности точки х этот ряд с высокой точностью представляет функцию f(x) при небольшом количестве членов разложения. Поэтому, подставляя под интеграл вместо функции f(x) ее тейлоровское разложение (4) и интегрируя его почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью
 (5)
Сравнивая соотношения (3) и (5), можно записать выражение для погрешности R. При малой величине шага интегрирования h основной вклад в погрешность R будет вносить первое слагаемое, которое называется главным членом погрешности R_oi вычисления интеграла на интервале [x_i, x_i+1]

Главный член полной погрешности для интеграла на всем интервале [х₀, х_n] определится путем суммирования погрешностей на каждом частич­ном интервале [x_i, x_i+1]
 (6)
Формула (6) представляет собой теоретическую оценку погрешности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, эта оценка является априорной, так как не требует знания значения вычисляемого интеграла. Степень шага h, которой пропорциональна величина  , называется порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок.
Аналогично проведем априорную оценку метода левых прямоугольников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около точки х= ,
 (7)
Интегрируя разложение (7) почленно на интервале [x_i, x_i+1], получим

где первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычисленное по методу левых прямоугольников, второе слагаемое является главным членом погрешности
 (8)
На интервале [х₀, х_n] главный член погрешности интегрирования полу­чим суммированием частичных погрешностей (8)
 (9)
Таким образом, метод левых прямоугольников имеет первый порядок; кроме того, погрешность будет больше по сравнению с методом средних прямоугольников.