Лабораторная работа №3 приближенное вычисление определенных интегралов. Методы прямоугольников и метод симпсона

Метод трапеций. Подынтегральную функцию заменим на участке [x_i,x_i+h] полиномом первой степени Р₁(х) (рис. 3). Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна.



Рис.3. Метод трапеций.

В этом случае приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции


Априорную погрешность R метода трапеций получим путем интегрирования тейлоровского разложения подынтегральной функции около точки  :

 (10)
С помощью разложения вычислим подынтегральную функцию в точке x_i + h

откуда
 (11)
Подставляя произведение (11) в выражение (10), получим

Следовательно, главный член погрешности метода трапеций на одном интервале будет
 (12)
Если интегрирование проводится путем разбиения отрезка [х₀, х_n] на несколько интервалов, то общую погрешность получим суммированием частичных погрешностей (12)

Метод трапеций, как и метод средних прямоугольников, имеет второй порядок. Если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка применять метод средних прямоугольников.
Метод Симпсона. Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным полиномом второй степени Р₂(х), проходящим через узлы х₀, х₁, х₂ (рис.5), тогда
 ,
где R - погрешность вычисления интеграла.


э
Рис. 4. Метод Симпсона.
Для записи полинома Р₂(х) воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона для трех узлов
 , (13)
где
  - разделенные разности,
h - расстояние между узлами.
Введем новую переменную  , тогда  и полином (13) принимает вид
 .
Теперь вычислим интеграл от полинома (14)
 . (14)
Последнее соотношение называют квадратурной формулой Симпсона, или формулой парабол.
Формулу Симпсона можно получить и с помощью первой и второй формул Рунге, примененных к вычислению интеграла методом трапеций. Запишем два приближенных значения интеграла от функции f(x) на интервале [х_о,х₂] с шагами h и 2h по формуле трапеций.
 ,

Получим уточненное значение интеграла
 ,
которое совпадает с формулой Симпсона (14).
Для оценки погрешности формулы Симпсона разложим подынтегральную функцию f(x) в ряд Тейлора около точки х_i и проинтегрируем разложение почленно в интервале [х_о,х₂].
Суммируя разложения около точки х₁ для функции f(x) в узлах x₀ и x₂, получим, что
 ,
тогда
 (15)
Первое слагаемое в правой части формулы (15) совпадает с формулой Симпсона, значит, второе слагаемое является главным членом погрешности для интеграла на интервале [х_о,х₂]

Полная погрешность запишется в виде

Следовательно, формула Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень малым численным коэффициентом в остаточном члене. Формула Симпсона позволяет получить высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае методы второго порядка могут дать большую точность, чем метод Симпсона.
Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену. Априорные оценки погрешностей можно записать в виде
R_o = Ah^p, (16)
где А - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подын­тегральной функции;
h - шаг интегрирования;
р - порядок метода.
Зависимости (16) подчиняется главный член погрешности большинства методов численного интегрирования. Пусть вычисляется значение некоторой переменной w с шагом h, тогда
 (17)
где w_h - приближенное значение w;
Ah^p - главный член погрешности;
O(h^p+1) - бесконечно малая величина порядка h^{p + 1}.
Вычислим ту же самую переменную w с шагом kh
 (18)
где коэффициент пропорциональности k может быть как больше, так и меньше единицы. Коэффициент А в выражениях (17) и (18) будет одинаковым, так как вычисляется одна и та же переменная, одним и тем же методом, а от величины шага h значение А не зависит.
Пренебрегая бесконечно малыми величинами, приравняем правые части соотношений (17) и (18) с учетом формулы (16) и получим w_h + R₀ = W_kh, + k^pR₀ откуда найдем главный член погрешности
 (19)
Формула (19) называется первой формулой Рунге и позволяет путем двойного просчета величины w с шагами k и kh оценить погрешность. Так как оценка осуществляется после вычисления, то она является апостериорной.
Формулы Рунге справедливы для всех вычислительных процессов, для которых выполняется степенной закон (16). Для определения порядка метода р необходимо проведение априорной оценки погрешности, что не всегда легко осуществить.
Английский математик Эйткен предложил способ оценки погрешности для случая, когда порядок р метода неизвестен. Порядок р можно определить по формуле,
 ,
где  - значение величины w с шагом k²h.

№	Название метода	Формула	Порядок метода	Априорная погрешность вычислений	Апостериорная погрешность вычислений
1	Левых прямоугольников (рис.1)		h
2	Правых прямоугольников (рис.2)		h
3	Средних прямоугольников		h^2
4	Трапеций (рис.3)		h^2
5	Симпсона (рис.4)		h^4