Lagranj funksiyasining tengsizliklarga tadbiqi

1-misol. Quyidagi tengsizlikni isbotlang.
bu yerda va
Isbot. Dastlab quyidagicha belgilash kiritaylik:
Masala shartiga ko’ra funksiyaning argumentlari
shartni qanoatlantirganda shartli minimumga tekshirishimiz yetarlidir.
Lagranj funksiyasini tuzamiz:
( ) bu yerda
Tuzilgan Lagranj funksiyasining xususiy hosilalaridan foydalanib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bu tenglamalar sistemasidan ekanligini kelib chiqadi. Topilgan nuqtani ekstremumning ikkinchi yetarlilik shartiga tekshiramiz. Buning uchun quyidagi determinantning nuqtadagi ishorasini aniqlaymiz:

Determinantda qatnashgan har bir xususiy hosilaning nuqtadagi qiymatini aniqlaymiz:





Ushbu tengliklardan foydalansak,

Demak, nuqtada funksiya shartli minimumga erishadi. Bundan esa
kelib chiqadi.
2-misol [Gabriel Dospinescu, Marian Tetiva]
Agar bo’lsa, isbotlang:
( .
Isbot. Masala shartiga ko’ra funksiyaning argumentlari shartni qanoatlantirganda shartli maksimumga tekshirish yetarlidir.
Lagranj funksiyasini tuzib olamiz:

Lagranj funksiyasining xususiy hosilalaridan foydalanib quyidagi tenglamalar sistemasini yechamiz:

Bu tenglamalar sistemasini yechib, quyidagi yechimlarni topamiz: .
Topilgan nuqtani ekstremumning ikkinchi yetarlilik shartiga tekshiramiz. Buning uchun quyidagi determinantning nuqtadagi ishorasini aniqlaymiz:



Determinantni hisoblash uchun determinantda qatnashgan xususiy hosilalarning topilgan nuqtadagi qiymatlarini hisoblaymiz va determinantning qiymatini hisoblaymiz:




Bu yerda

Demak, funksiya nuqtada shartli maksimumga erishadi. Bundan esa berilgan tengsizlikni hosil qilamiz:

.