Лаплас ва Пуассон тенгламалари учун чегаравий масалаларни ечишнинг ўзгарувчиларни ажратиш усули

Лаплас ва Пуассон тенгламалари учун чегаравий масалаларни ечишнинг ўзгарувчиларни ажратиш усули
Автор:Сайфуллаев Бехруз
Лаплас ва Пуассон тенгламалари учун бази содда соҳаларда (доира, доиравий ҳалқа, тўғри-тўртбурчак ва бошқалар) қўйилган чегаравий масалаларни ечишга Фурpенинг ўзгарувчиларни ажратиш усулини қўллаш мумкин.Биз бу усулни Дирихленинг ички ва ташқи масалаларини ечиш мисолида кўриб чиқамиз. Доиравий соҳалар учун қўйилган чегаравий масалаларни ечишда (,) қутб координаталарга ўтиш қўлай бўлиб, бунда Лаплас тенгламаси ушбу
кўринишда бўлади.
Дирихленинг ички масаласи: 0   доирада (1) тенгламанинг
чегаравий шартни қаноатлантирувчи ва 0а ёпиқ доирада узлуксиз u=u(,) ечими топилсин, бу ерда f() берилган узлуксиз функция.
I. Асосий тушунчалар ва теоремалар
Ечимни
u(,)=R ()Ф() (3)
кўринишда излаймиз.
(3) ни (1) тенгламага қўйиб, ушбу
оддий дифференциал тенгламаларга эга бўламиз. Бунда
бўлгани учун бўлади, бундан эса бутун сон эканлиги келиб чиқади.У ҳолда (4) тенгламанинг умумий ечими
кўринишда эканлигини топамиз.
бўлганда (5) тенгламанинг умумий ечими ушбу
кўринишда бўлиб, бўлганда эса
кўринишда бўлади.

Дирихле ички масаласининг ечими учун
олиниши керак, чунки бўлганда ва бўлади.
Шундай қилиб, Дирихле ички масаласининг ечими ушбу
қатор кўринишида бўлиб, бунда n, n коэффициентлар (2) чегаравий шарт асосида қуйидаги формулалардан топилади:
Теорема. Агар f() функция [0;2] оралиқда узлуксиз дифференциалланувчи бўлса, у ҳолда (9) қатор билан аниқланган u(, ) функция а ёпиқ доирада узлуксиз ва Дирихле ички масаласининг ягона ечими бўлади.

(10) формуладан фойдаланиб, (9) формуладаги қаторни йиғиб чиқсак, ечимининг қуйидаги Пуассон интеграли деб аталувчи кўринишига келамиз:
Изоҳ: Теоремада келтирилган f() функцияни узлуксиз дифференциалланувчи бўлиш шарти, амалиёт учун оғир шарт бўлиб, уни енгиллаштириш мумкин. Агар f() функция бўлакли узлуксиз бўлса, у ҳолда u(,) функция чегараланган f() функциянинг узлуксиз нуқталарида узлуксиз ва (2) чегаравий шартни қаноатлантирувчи Дирихле масаласининг ягона ечиш бўлади.
2)Дирихленинг ташқи масаласи: >a соҳада (1) Лаплас тенгламасининг(2) чегаравий шартни қаноатлантирувчи ҳамда а соҳада узлуксиз ва чегараланган u=u(,) ечими топилсин.

Юқоридагидек мулоҳаза юритиб (6)-(8) ечимларни ҳосил қиламиз. Бунда
Дирихленинг ташқи масаласи ечими учун
олиниши керак, чунки  бўлганда n ва ln бўлади. У ҳолда Дирихле ташқи масаласининг ечими ушбу
қатор кўринишда бўлиб, бунда n ва n коэффициентлар (10) формула орқали аниқланади.
3)Ҳалқа учун Дирихле масаласи: 0< халқада (1) Лаплас тенгламасининг
чегаравий шартларни қаноатлантирувчи ҳамда а   b соҳада узлуксиз бўлган u(,) ечими топилсин, бу ерда f(), g() берилган узлуксиз функциялар.

Олдинги масалаларни ечишдаги каби мулоҳаза юритиб (6)-(8) ечишлдарни ҳосил қиламиз. Бунда доира учун қўйилган масалада фарқли равишда Rn() функцияда иккала қўшилувчини сақлаб қолиш керак, чунки =0 ва = нуқталар халқага тегишли эмас. Натижада (6)-(8) ечимлардан ташкил топган ушбу қаторни ҳосил қиламиз:
Чегаравий шартлардан фойдаланиб, An, Bn, Cn ва Dn номаpлум коэффициентларни топиш учун қуйидаги тенгламалар системасини ҳосил қиламиз
бу ерда
(14) системани ечиб номаpлум коэффициентларни топамиз ва уларни (13) қаторга қўйиб, берилган масалани ечимни ҳосил қиламиз.