Laplasning lokal va integral teoremlariga doir misollar yechish
Download 187.03 Kb.
|
LAPLASNING LOKAL VA INTEGRAL TEOREMLARIGA DOIR MISOLLAR YECHISH
- Bu sahifa navigatsiya:
- Teorema (Muavr-Laplasning integral teoremasi).
- Foydalanilgan adabiyotlar
LAPLASNING LOKAL VA INTEGRAL TEOREMLARIGA DOIR MISOLLAR YECHISH da ehtimol uchun asimptotik formula topish zaruriyati tug`iladi. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: . Teorema (Muavr-Laplasning lokal teoremasi). Agar ta bog`lanmagan tajribalarning har biror hodisaning ro`y berish ehtimoli ( ) bo`lsa u holda bo`ladigan hamma va lar uchun (1) o`rinli bo`ladi. Bu yerda . Bu teoremani Muavr 1730 yilda bo`lgan hol uchun, so`ngra Laplas ixtiyoriy uchun isbotlagan. Isbot. Teorema isbotida bizga matematik analiz fanidan ma`lum bo`lgan Stirling formulasidan foydalanamiz. , . bo`lgani uchun , (2) Shunga o`xshash dan , (3) tenglik o`rinli bo`ladi. (2) va (3) tengliklardan ko`rinadiki, da va lar ham cheksizlikka intiladi. Bernulli formulasiga asosan: . Stirling formulasiga asosan: (4) bu yerda va . (2) va (3) larga asosan (5) Bundan ko`rinadiki (6). Belgilash kiritamiz: deb belgilaymiz. U holda (2) va (3) ga asosan: . (7) yetarlicha katta bo`lganda va larni yetarlicha kichik qilish mumkin? Shuning uchun va larni darajali qatorga yoyish mumkin. (8) (9) (8) va (9) larga asosan (7) ni quyidagicha yozish mumkin: bo`lgani uchun da (10) (2) va (3) larni hisobga olsak, , (11) va da (12) (6), (10), (11), (12) larni hisobga olsak (4) dan teoremaning isboti kelib chiqadi. Masalalar yechishda qulaylik tug`dirish uchun funksiya uchun jadval tuzilgan. Bu jadval faqat argumentning manfiy bo`lmagan qiymatlari uchun tuzilgan. juft bo`lgani uchun ning manfiy qiymatlari uchun ham shu jadvaldan foydalanish mumkin. Masalalar yechiashda quyidagi taqribiy formuladan foydalaniladi: (13) Endi oldingi ma`ruza oxirida keltirilgan masalani (13) formuladan foydalanib yechamiz. Masala shartiga ko`ra: , , , . ; . Demak, . Muavr-Laplasning lokal teoremasidan foydalanmasdan o`tkazilgan aniq hisolashlar ekanligini ko`rsatadi. Taqribiy va aniq qiymat orasidagi farq ni tashkil qiladi. Bu xatolikni inobatga olmaslik mumkin. Faraz qilaylik, bizdan ta bog`lanmagan tajribalarda biror hodisasining kami bilan ko`pi bilan marta ro`y berish ehtimolligini ni topish talab qilinsin. Bernulli formulasiga asosan: (14) Agar lar yetarlicha katta bo`lsa, (14) ifodaning qiymatini hisoblash texnik qiyinchiliklarga olib keladi. Shuning uchun ham ehtimollik uchun asimptotik formula izlash zaruriyati tug`iladi. Teorema (Muavr-Laplasning integral teoremasi). Agar ta bog`lanmagan tajribalarning har birida biror hodisaning ro`y berish ehtimoli ( ) bo`lsa, da munosabat va larda ( ) nisabatan tekis bajariladi. Bu yerda , , . Isbot. Muavr-Laplasning lokal teoremasiga asosan va lar chekli bo`lganda bu yerda , . Quyidagi ayirmani qaraymiz: Bunga asosan va da (15) Endi ni baholaymiz. . Bunda da (16) ekanligi kelib chiqadi. (15) va (16) dan teoremaning isbotiga ega bo`lamiz. Muavr-Laplasning integral teoremasidan foydalanib maslalalar yechishda funksiyaning qiymatini hisoblashga to`g`ri keladi. funksiya qiymatlari uchun jadval tuzilgan. Jadvalda funksiyaning nol va musbat larga mos qiymatlari keltirilgan. da funksiyaning toqligidan foydalanib, jadvaldan bo`lgan holda ham foydalanish mumkin. Jadvalda ning kesmadagi qiymatlari berilgan, agar bo`lsa, u holda deb olinadi. funksiya orqali ni quyidagicha ifodalash mumkin: Endi quyidagi masalani yechamiz: Masala. Korxonada ishlab chiqariladigan har bir maxsulotning yaroqsiz bo`lish ehtimoli . 10000 ta ishlab chiqarilgan maxsulot orasida yaroqsizlari soni 70 tadan oshmaslik ehtimolini toping. ; ; ; ; ; ; ; ; ; . funksiya jadvalidan ; . Faraz qilaylik Muavr-Laplasning integral teoremasidagi barcha shartlar bajarilgan bo`lsin. Biz nisbiy chastotaning o`zgarmas ehtimoldan chetlanishning absolyut qiymati bo`yicha oldindan berilgan sondan katta bo`lmaslik ehtimolini topish masalasini qaraymiz, ya`ni tengsizlikni bajarilish baholaymiz. Muavr-Laplas integral teoremasiga asosan Shunday qilib (17) (17) ning ikkala tomonidan da limitga o`tsak, . . Bu munosabatga Bernulli sxemasi uchun katta sonlar qonuni yoki Bernulli teoremasi deyiladi. Masala. Tajriba tanga tashlashdan iborat bo`lsin. Tangani 100 marta tashlaganda raqamli tomon tushish hodisasining nisbiy chastotasi ning ehtimoldan absolyut qiymat bo`yicha farqi dan oshmaslik ehtimolini baholang. Yechish. Masala shartiga ko`ra , , , . (17) formulaga asosan , chunki . Foydalanilgan adabiyotlar Axmedov M va boshqalar Matematika 1, Toshkent.: O’zinkomsentr, 2003, 160-bet. Bikbayeva N.U va boshqalar Matematika 2 - Toshkent.: O’qituvchi, 2005, 208 bet. Bikbayeva N.U va boshqalar Matematika 3 - Toshkent.: O’qituvchi, 2005, 206 bet. Jumayev M.E. va boshqalar. Matematika o’qitish metodikasi (kasb-hunar kollejlari o’quvchilari uchun o’quv qo’llanma) - T.: ”Ilm-Ziyo”, 2003, 240- be Jumayev M.E., „Matematika o’qitish metodikasidan praktikum—- Toshkent.: O’qituvchi, 2004, 328 bet. Download 187.03 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling