Mavzu: bernulli sxemasi reja: Bog‘liqsiz tajribalar. Bernulli taqsimoti

Mavzu:BERNULLI SXEMASI
Reja:

1. 
   Bog‘liqsiz tajribalar. Bernulli taqsimoti
   
2. 
   Bernuli taqsimotiga doir masalar
   

Bog‘liqsiz tajribalar. Bernulli taqsimoti Faraz qilaylik muayyan shatrlarda ta bog‘liqsiz tajribalar о‘tkazilayapti. Bu tajribalarning har birida ikki xil natija kutiladi: ehtimollik bilan «muvaffaqiyat» va ehtimollik bilan «muvaffaqiyatsizlik». Bunday tajribalar seriyasi Bernulli sxemasi deb ataladi. (Tajribalar seriyasida ishlatilayotgan «muvaffaqiyat» va «muvaffaqiyatsizlik» terminlari an’anaviy atamalar bо‘lib, biz uchun ularning nomlaridan kо‘ra tajriba natijalari muhim.)
Bernulli sxemasida muvaffaqiyatlar sonini deb belgilasak, bu kattalik diskret ehtimollik fazosida berilgan tasodifiy miqdor bо‘ladi. Darhaqiqat, agar tajriba muvaffaqiyat bilan tugasa, , aks holda deymiz va vektorni qaraymiz. Bu vektorni chekli ehtimollik fazosining nuqtasi sifatida qaraymiz: . Bu nuqtaning berilishi barcha ta tajribaning natijalarini aniqlaydi va aksincha. Shunday qilib, miqdor tasodifiy tajriba natijasining funksiyasidir va
.
Endi ehtimollik fazosida ehtimollikni aniqlaymiz. Barcha ta tajriba о‘zaro bog‘liqsiz va muvaffaqiyat ehtimolligi har bir tajribada bir xil ekanligidan
, (1.1)
bu yerda son tajribada natijaning ehtimolligidir; .
Shartga kо‘ra
.
Demak, (1.1) formulaning о‘ng tomonida ga teng kо‘paytuvchilarning soni larning orasidagi birlar lar sonicha, ga teng kо‘paytuvchilarning soni esa larning orasidagi nollar lar sonicha. YA’ni
. (1.2)
Yuqoridagi mulohazalar asosida tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini aniqlaymiz:
(1.3)
(1.2) formulaga kо‘ra (1.3) tenglikning о‘ng tomonidagi har bir qо‘shiluvchi uchun

tenglikka ega bо‘lamiz. Bu qо‘shiluvchilar soni esa roppa-rosa

ta. Haqiqatdan ham ta komponentasi lardan va ta komponentasi lardan iborat bо‘lgan о‘lchovli vektorlar soni ga teng. Chunki bunday vektorlarning soni ularning komponentalarida ta birlarni joylashtirish orqali aniqlanadi va ma’lumki, birlarning joylari sondagi turli xil usul bilan tanlanishi mumkin.
Demak, tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
. (1.4)
Nyuton binomi formulasidan foydalansak, (1.4) formulaga kо‘ra fuyidagiga ega bо‘lamiz:
.
Oxirgi tenglikni hosil qilishda biz ehtimollikning shartidan foydalandik. Unga kо‘ra
.
Shunday qilib,
. (1.5)
Yuqoridagi munosabatdan

ekanligi kelib chiqadi.
Quyidagi teorema tasdig‘i Bernulli sxemasi bо‘yicha ta tajribada muvaffaqiyatlar sonining toq sonda bо‘lishi ehtimolligini hisoblash imkonini beradi.
Teorema 1.1. Ushbu , ehtimollik uchun ushbu

formula о‘rinli.
Isbot. ehtimollikning ta’rifiga kо‘ra, deyarli ravshanki,
. (1.6)
Nyuton binomi formulasiga kо‘ra
(1.7)
Ikkinchi tomondan (1.5) tenglikni ushbu
(1.8)
shaklda yozib olish mumkin. Yuqorida hosil qilingan (1.7) tenglikni ga kо‘paytirib, (1.8) tenglikka hadlab qо‘shsak,
.
Oxirgi tenglikda (1.6) formulani hisobga olsak, ushbu

formulani hosil qilamiz.
Teorema isbot bо‘ldi.
Biz о‘rganayotgan ushbu formula Bernulli formulasi deb nomlanadi. Bu formulani har bir tajribada ehtimolligi о‘zgarmas bо‘lgan biror hodisaning ta bog‘liqsiz tajribalardan roppa-rosa tasida rо‘y berish ehtimolligi sifatida talqin qilish mumkin. Bernulli formulasining sodda kо‘rinishiga qaramasdan yetarlicha katta larda undan foydalanish birmuncha noqulayliklarni vujudga keltiradi. Bunday holga, ayniqsa, tayinlangan yetarlicha katta va larda hisoblash jarayonida emas, balki aniq ekstremal masalalarda duch kelamiz. Shu munosabat bilan muayyan shartlar bajarilganda ni hisoblashda taqribiy hisoblash usullari keng qо‘llaniladi. Shu munosabat bilan keyingi paragrafda isbotlanadigan teoremada tajribalar soni yetarlicha katta bо‘lganda har bir tajribada rо‘y berish ehtimolligi juda kichik bо‘lgan hodisalarning ehtimolligini hisoblash formulasi keltiriladi.
Ehtimollikning asimptotasi. Dastlab bitta lemma isbotlaymiz.