Лекции Классификация методов решения краевых задач (КЗ) для оду

Составляем комбинацию

(3)
с неизвестными пока коэффициентами a_i, .
В силу линейности операторов l_j, j=0,1 функция y_n(x) удовлетворяет заданным краевым условиям (2). Действительно

Функция
(4)
называется н е в я з к о й.
Невязка равна разности левой и правой частей уравнения (1), когда в левую часть вместо u(x) подставлена функция y_n(x).
Невязка (4) линейно зависит от a_i и является некоторой характеристикой уклонения функции (3) от неизвестного решения u(x). При некоторых a_i если тождественно равно нулю, то y_n(x) совпадает с решением краевой задачи, коль скоро удовлетворяется и уравнение (1) и краевые условия (2).
Однако, обычно не удается сделать невязку тождественно равной нулю. Поэтому стараются подобрать a_i так, чтобы в каком-то смысле стало по возможности меньше по абсолютному значению. Функцию y_n(x) при выбранных a_i принимают за приближенное решение задачи (1), (2). Имеется ряд приближенных методов решения (1), (2), отличающихся способами нахождения параметров a_i. Ниже рассмотрим некоторых из них.


3. Метод коллокации

Название метода исходит из английского слова «collocation» - взаиморасположение, расстановка.

Согласно этому методу в интервале (a, b) фиксируется n точек x₁, x₂, ..., x_n, называемых точками коллокации, в которых невязка (4) приравнивается нулю
(5)
Полученная система линейных алгебраических уравнений (5) относительно a_i в более подробной записи имеет вид
(6)
Если система (6) однозначно разрешима, то найденные коэффициенты a_i, подставляются в (3). Полученное выражение для y_n(x) представляет собой приближенное решение задачи (1), (2).