Лекция №1 нелинейные системы автоматического управления

Фазовые траектории для обыкновенных линейных систем.
Пусть переходный процесс в некоторой системе описывается уравнением второго порядка
, (1)
Введем обозначение для скорости изменения отклонения регулируемой величины . Тогда уравнение системы (1) преобразуется к виду
(2)
Исключим из уравнений (2) время t, разделив первое из них на второе (при х и у ≠ 0):
. (3)
Решение у = φ(х) этого дифференциального уравнения с одной произвольной постоянной определяет собой некоторое семейство так называемых интегральных кривых на фазовой плоскости (х, у), каждая из которых соответствует одному определенному значению произвольной постоянной.
Вся совокупность интегральных кривых представит собой все возможные фазовые траектории, а значит, и все возможные виды переходного процесса в данной системе автоматического регулирования при любых начальных условиях.
Рассмотрим отдельно различные случаи. Уравнению (1) соответствуют корни характеристического уравнения
,
причем возможны шесть случаев:
1) корни чисто мнимые при a₁ = 0, а₂ > 0 (граница устойчивости линейной системы);
2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при (устойчивая линейная система);
3) корни комплексные и имеют положительные вещественные части при (неустойчивая линейная система);
4) корни вещественные отрицательные при (устойчивая линейная система);
5) корни вещественные положительные при (неустойчивая линейная система);
6) корни вещественные и имеют разные знаки при а₂ < 0 (неустойчивая линейная система); в частности, один из корней будет равен нулю при а₂ = 0 (граница устойчивости линейной системы).
Случай 1. В первом случае получаются, как известно, незатухающие колебания (рис.3.1а)
, (4)
с постоянной амплитудой А и начальной фазой β, которые зависят от началь­ных условий. Для фазовой плоскости уравнения (4) представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и ωA (рис.3.1, б). Уравнение эллипса

можно получить непосредственным решением дифференциального уравнения фазовых траекторий (3) при a₁ = 0 и а₂ = ω², причем А – произвольная постоянная интегрирования.

Рис. 3.1.

Итак, периодическим колебаниям системы (рис.3.1,а) соответствует движение изображающей точки по замкнутой кривой (рис.3.1,б).