Лекция №1 нелинейные системы автоматического управления

Случай 2. В этом случае (комплексные корни с отрицательными вещественными частями), как известно, имеют место затухающие колебания (рис.3.2,а)
,
где
,
а произвольные постоянные А и β определяются из начальных условий:
при t = 0.
Значения х и y не возвращаются за период колебания к прежним, а становятся меньше. Это дает на фазовой плоскости (х, у) кривую (рис.3.2,б),

Рис.3.2.
которая за один оборот не возвращается в прежнюю точку М₀, а подходит ближе к началу координат.
Итак, затухающим колебаниям системы (рис.3.2,а) отвечают фазовые траектории в виде спиралей, по которым изображающая точка прибли­жается к началу координат (рис.3.2,б).
Случай 3. Этот случай (комплексные корни с положительными вещественными частями) соответствует расходящимся колебаниям (рис.3.3,а).



Рис.3.3.

Рассуждая аналогично предыдущему, получим всю сово­купность возможных фазовых траекторий тоже в виде спиралей, но только изображающая точка будет двигаться по ним не к началу координат, а от него (рис.3.3,б).

Случай 4. Этот случай (вещественные отрицательные корни) соответствует апериодическому процессу
(5)
где
.
На рис.3.4,а показаны два возможных варианта (кривые 1 и 2) про­текания такого процесса. Легко видеть, что на фазовой плоскости (х, у) это изобразится кривыми 1 и 2 соответственно (рис.3.4,б), так как в первом

Рис.3.4

варианте все время x>0 и y<0, а во втором варианте знаки х и у меняются по одному разу. Границы областей 1 и 2 представляют собой прямые и .

В отличие от прежнего здесь все фазовые траектории вливаются непосред­ственно в начало координат О фазовой плоскости. Однако изображающая точка М не попадает в начало координат в конечное время, а приближается асимптотически.
Итак, затухающим апериодическим процессам в системе отвечают фазо­вые траектории, вливающиеся в начало координат.