Лекция 14. Модели межвидового соперничества популяции

Другие модели двух видовых взаимодействий. Рассмотренная модель Лотки — Вольтерра (11) допускает многочисленные обобщения. Например, можно учесть внутривидовую конкуренцию жертв за общую пищу, подобно тому, как это делалось в п. 1. Тогда математическая модель будет выглядеть следующим образом:
(21)
где
, (22)
В квадранте эта система имеет единственную точку покоя:
(23)
Если учесть, что конкурентная борьба может быть и между хищниками, то модель (21) модифицируется в следующую:
(24)
где
(25)
Эта система также имеет одну точку покоя
(26)
в положительном квадранте . Отметим, что фазовые траектории решений этих двух моделей уже могут и не быть замкнутыми.
Более точные математические описания двух видовых взаимодействий учитывают сложные картины взаимодействия как по времени, так и в пространстве: неравномерность распределения численности популяций на занимаемых территориях, временное запаздывание между рождением особей и их зрелостью, внешние воздействия и т. п. Для поиска решений таких сложных задач приходится использовать численные методы, но, как показали разобранные выше примеры, предварительный качественный анализ свойств решений надо выполнить обязательно, поскольку он может дать ценную информацию о характерных особенностях решений. Эту информацию можно использовать, например, при тестировании численных алгоритмов.

Контрольные вопросы и задания

1. 
   Какое значение имеют коэффициенты чувствительности к недостатку норма?
   
2. 
   В моделях межвидовой конкуренции всегда и численность обоих популяций ограничена?
   
3. 
   Какое взаимоотношение существует между мутантным и домутантным видами?
   
4. 
   Какой системой уравнений описывается модель «хищник-жертва»?
   
5. 
   Что называется, фазовой траекторией для уравнения Лотки-Волтерра?
   
6. 
   Амплитуды периодических колебаний в модем Лотки-Волтерра определяются какими параметрами?
   
7. 
   Как обобщается модель Лотки-Волтерра?