Лекция 14. Модели межвидового соперничества популяции

а - график функции (19); б - фазовые траектории; p = 0,5
Определим теперь направление движения точки по фазовой траектории при возрастании времени. Пусть Тогда из первого уравнения системы (13) следует, что т. е. функция возрастает со временем при движении по нижней части фазовой траектории (на рис. 7, б — это часть траектории, состоящая из точек, у которых вторая координата Из того же уравнения получаем, что при функция будет убывать . Аналогично определяется знак производной Тем самым получаем, что с течением времени точка движется по фазовой траектории в набавлении против часовой стрелки (на рис. 7, б направление движения по фазовым траекториям изображено стрелками).
Биологическое содержание задачи подтверждает выявленное свойство решений математической модели. В самом деле, возьмем некоторые начальные данные (15), соответствующую им фазовую траекторию и начнем рассмотрение с момента времени, когда численность хищников наименьшая. На траектории (см. рис. 7, б) этому моменту времени будет соответствовать самая низшая ее точка с координатами В этот момент для развития жертв создались самые благоприятные условия (хищников очень мало), поэтому численность жертв растет, но вместе с этим начинается и рост численности хищников (в математической модели этот процесс описывается движением по нижней части фазовой траектории вправо). В некоторый момент времени хищников становится столько что они выедают ровно весь прирост жертв, т. е. в этот момент времени численность жертв достигает своего максимума и далее она начинает уменьшаться (начинается движение по верхней части траектории влево), а численность хищников продолжает расти. Наконец, хищников становится так много а жертв так мало что вместе с уменьшением количества жертв начинает уменьшаться и численность хищников. Такое продолжается вплоть до момента времени, когда численность жертв достигает своего минимума и малое количество хищников позволяет жертвам начать увеличение своей численности (начинается движение по нижней части фазовой траектории вправо).
Таким образом, рассматриваемая модель описывает сколь угодно долгое сосуществование обеих популяций с периодическим колебанием их численностей. Амплитуды этих колебаний
, (20)
зависят как от начальных численностей популяций, так и от определяющих параметров модели (см. задачу 2). В некоторых случаях амплитуда колебаний численности жертв может быть больше амплитуды a2 колебаний численности хищников, в других — наоборот (ср. рис. 7, б и 8).

При этом всегда колебания численностей совершаются не в фазе: экстремальному значению функции соответствует среднее по периоду значение функции и наоборот, а средние по периоду значения этих функций совпадают с равновесными значениями (14) (см. задачу 3).
Заметим, что мы выполнили качественный анализ решений системы уравнений (13) относительно безразмерных величин. Используя формулы преобразования (12), можно восстановить картину взаимодействия популяций в исходных переменных. Например, истинная (в размерных величинах) амплитуда колебаний численности жертв будет вычисляться по формуле

в которой используется безразмерная амплитуда (20).