Лекция №15 Интегральные оценки качества переходных процессов. Частотные методы оценки качества регулирования

Рис. 4.21

При m
(4.61)
где - определитель Гурвица, составленный из коэффици­ентов:
(4.62)

в котором все коэффициенты с меньшим индексом 0 и большим я заменяют нулями. Определители ,..., получают из (4.62) заменой столбца (v+1) столбцом ….,0, a v=0, 1,.....,m.

Коэффициенты ..., , определяют как
(4.63)
Интегральную квадратичную оценку можно вычислять по заданной частотной характеристике замкнутой системы.
Пусть - изображение Фурье для функции , на основании теоремы свертки в комплексной области для можно записать при s=0
(4.64)
(4.65)
где – комплексный коэффициент усиления замкну­той системы.
Таким образом, по (4.64) и (4.65) можно вычислить . Выражение (4.64) есть формула Рэлея*.
Существуют таблицы расчета интеграла в функции ко­эффициентов …, и …, изображения по Лапласу сигнала ошибки для и до . В табл. 4.1 приведены формулы для при .
При выборе параметров системы по минимуму оценки часто получают нежелательную колебательность процесса, так как приближение процесса h(t) к идеальному скачку вы­зывает резкое увеличение начальной скорости, что, в свою очередь, может вызвать высокое перерегулирование, уменьшив при этом запас устойчивости. В обобщенных квадратич­ных оценках ,…, накладывают ограничение не только на величину отклонения , но и на скорость отклонения в , а также и на производные второго, третьего и выс­ших порядков в ,…, , что означает приближение кривой не к ступенчатой функции, а к экспоненте в случае и к бо­лее плавной, но сложной кривой в случае использования ,…, . При выборе параметров САУ по минимуму ,…, , существен выбор постоянных ,…., определяю­щих вес производных в обобщенных квадратичных оценках (4.58), (4.59). Значительное увеличение ,…., приводит к отсутствию перерегулирования, но увеличивает время регули­рования. При малых ,…., уменьшение колебательности будет незначительным. Выбор ,…., осуществляется с уче­том постоянной времени экстремали, к которой целесообраз­но приближать процесс.
Остановимся на методике расчета системы по минимуму обобщенной квадратичной оценки:

Этот интеграл можно представить в виде суммы двух интегра­лов:

Если система устойчива, то , тогда

Кроме того, интеграл будет иметь минимально возмож­ное значение
(4.66)
при
(4.67)
Если
(4-68)
то решение дифференциального уравнения (4.68)
(4.69)
является оптимальным по минимуму (экстремальным) пере­ходным процессом (где – постоянная времени этого про­цесса).
При выборе параметров системы по минимуму обычно имеет место отклонение от наименьшего значения , т.е.
А. А. Фельдбаумом [10] было показано, что переходный процесс будет отличаться от экстремального на величину, мень­шую т.е.
(4.70)
По величине можно оценить отклонение истинного пере­ходного процесса от экстремального (рис. 4.22). При увеличении порядка системы увеличивается и ширина зоны , при этом уменьшается точность оценки качества си­стемы (приближения переходного процесса к экстремали); во избежание этого используют оценки вида (4.59). Величи­ну задают по требуемому времени регулирования , т. е. .
Следует заметить, что задача выбора параметров по мини­муму или решается аналитически лишь в несложных случаях для САУ невы­сокого порядка. В противном случае расчеты существенно усложня­ются и задачу следует решать численно на ЦВМ.
Рассмотрим примеры выбора оптимального значения какого-либо параметра системы по минимуму и .