Лекция №15 Интегральные оценки качества переходных процессов. Частотные методы оценки качества регулирования

Частотные методы оценки качества регулирования
Частотные методы исследования систем управления широко используют в инженерной практике. Они основаны на привыч­ном для инженеров графическом изображении динамических характеристик системы, поэтому нашли применение при рас­четах систем автоматического управления и позволили раз­работать ряд удобных инженерных методов анализа и синтеза систем автоматического регулирования. В большую роль в пропаганде и развитии частотных методов сыграли работы В. В. Солодовникова. В них приведены метод оценки качества по вещественным частотным характеристикам, метод построе­ния переходных процессов по вещественным трапецеидальным характеристикам при ступенчатых воздействиях, а также ме­тод синтеза корректирующих устройств. В работах была до­казана возможность применения частотных методов к раз­личным системам с распределенными параметрами и с запазды­ванием. Применение этих методов позволяет определить та­кие важные показатели качества, как быстродействие, перере­гулирование, колебательность процесса. Эти вопросы хорошо освещены в литературе, и имеется большое количество вспомо­гательных таблиц и графиков, что в значительной степени упростило инженерные расчеты.
Прежде всего остановимся на аналитической зависимости между переходной характеристикой и частотными характери­стиками системы. Если на линейную систему воздействует гармонический сигнал, то и установившееся значение выход­ной величины будет гармоническим:
(4.71)
где – изображение выходной величины x(t) по Фурье; – изображение входной величины g(t) по Фурье; Wgx (/со) – комплексный коэффициент усиления замкнутой системы.
При воздействии на систему единичной ступенчатой функ­ции g(t)=1(t) выходная величина, являющаяся переходной характеристикой системы h(t), определяется через веществен­ную частотную или мнимую частотную характеристику зам­кнутой системы:
(4.72)
где – вещественная частотная характеристика замкну­той САУ;
(4.73)
где – мнимая частотная характеристика замкнутой си­стемы.
Определение переходной характеристики по (4.72), (4.73) возможно лишь численными методами с применением ЦВМ. Но возможен и другой путь, связанный с аппроксимацией ве­щественной и мнимой частотных характеристик линейно-ку­сочными функциями. Это позволяет получить достаточно удоб­ные выражения для приближенного построения переходной характеристики.
Если на систему действует произвольное возмущение, то переходный процесс определяется по обобщенным веществен­ной и мнимой характеристикам:
(4.74)
где – изображение входного воздействия g(t) по Фурье. При этом необходимо, чтобы полюсы функции располагались слева от мнимой оси.
Рассмотрим основные свойства вещественных частотных характеристик и соответствующих им переходных процессов. Из (4.72) следуют основные свойства и . Приведем их без доказательств.
1. Свойство линейности: если вещественную частотную ха­рактеристику можно представить суммой
(4.75)
то и переходный процесс может быть представлен суммой составляющих:
(4.76)
2. Соответствие масштабов по оси ординат для и . Если умножить на постоянный множитель а, то соответствующие значения тоже умножаются на этот множитель а.

3. Соответствие масштабов по оси абсцисс для и . Если аргумент со в соответствующем выражении частот­ ной характеристики умножить на постоянное число (рис. 4.23, а), то аргумент и в соответствующем выражении переходного процесса будет делиться на это число (рис. 4.23, б), т. е.

(4.77)
4. Начальное значение вещественной частотной характе­ристики равно конечному значению переходной характери­стики:

Начальное значение мнимой частотной характеристики Q(0)=0.
5. Конечное значение вещественной частотной характери­стики равно начальному значению оригинала переходной характеристики:
Представляют интерес разрывы непрерывности и пики в вещественной частот­ной характеристике. Пред­положим, что при вещественная частотная ха­рактеристика имеет разрыв непрерывности , при этом характеристическое уравнение системы будет иметь мнимый корень , т. е. в системе устанавливаются незатухающие гар­монические колебания, если остальные корни левые. Характе­ристика для этого случая показана на рис. 4.24, а. По-види­мому, высокий и острый пик частотной характеристики, за которым переходит через нуль, при частоте, близкой к соответствует медленно затухающим колебаниям (рис. 4.24, б).

6. Чтобы переходная характеристика системы имела пере­ регулирование, не превышающее 18% , вещест­венная частотная характеристика должна быть положитель­ной невозрастающей функцией частоты (рис. 4.25), т. е. .

7. Условия монотонного протекания переходного процес­са. Чтобы переходный процесс имел монотонный характер, достаточно, чтобы соответствующая ему вещественная частотная характе­ристика была положительной, непрерывной функцией частоты с от­рицательной, убывающей по абсо­лютному значению производной (рис. 4.26, а, б), т. е.



8. Определение наибольшего значения перерегулирования переходного процесса по максимуму ве­щественной частотной характеристи­ки (рис. 4.27):
(4.78)
где – максимальное значение ; Р(0)–начальное значение .