Лекция №3. Модели в переменных состояния. Переменные состояния динамической системы. Связь между передаточной функцией и уравнениями состояния. Анализ моделей переменных состояния с помощью matlab

Связь между передаточной функцией и уравнениями состояния
Если задана передаточная функция G(s) то, изобразив модель системы в виде сигнального графа, мы затем можем получить уравнения состояния. Теперь мы решим обратную задачу, т. е. покажем, как по уравнениям состояния системы с одним входом и одним выходом определить ее передаточную функцию. Напомним еще раз уравнения (3.16) и (3.17):

и

Преобразуя эти уравнения по Лапласу, получим:

и

где B — матрица размерности nх1, поскольку и есть единственный вход. Заметим, что в преобразовании Лапласа мы не учитывали начальные условия, поскольку определению подлежит передаточная функция. Группируя члены в уравнении (3.68), получим:
.
Так как , то
.
Подставляя Х(s) в (3.69), получим:

Поскольку передаточная функция , то окончательно имеем:

Анализ моделей в переменных состояния с помощью МАТLАВ
Анализ систем управления во временной области предполагает задание ее модели в пространстве состояний:

Вектор х характеризует состояние системы, матрица А есть матрица коэффициентов размерности nхn, В — матрица входа размерности пхт, С — матрица выхода размерности рхп, D — матрица обхода размерности рхт. Мы ограничиваемся рассмотрением систем с одним входом и одним выходом, поэтому в данном случае т-р = 1, а у и и являются скалярными переменными (полужирное начертание для них не используется).
Основными элементами модели в пространстве состояний (3.127) являются вектор х и матрицы (А, В, С, D). Подобное описание как нельзя лучше подходит для использования среды МАТLАВ, в которой основной рабочей единицей является матрица. В действительности МАТLАВ охватывает так много различных методов, базирующихся на пространстве состояний, что рассмотреть их все мы просто не имеем возможности. В данном разделе мы познакомимся с двумя новыми функциями: ss и Isim. Кроме того, мы рассмотрим функцию ехрm, с помощью которой вычисляется переходная матрица состояния. Если задана передаточная функция, то мы можем получить эквивалентную модель системы в переменных состояния и наоборот. Для этого в МАТLАВ имеются две функции: функция ss позволяет перейти от передаточной функции к представлению системы в пространстве состояний, функция tf выполняет обратную задачу. Смысл этих функций раскрывает рис. 3.28.
Например, рассмотрим систему третьего порядка: