Лекция №3. Модели в переменных состояния. Переменные состояния динамической системы. Связь между передаточной функцией и уравнениями состояния. Анализ моделей переменных состояния с помощью matlab

Рис. 3.28. (а) Функция ss. (б) Преобразование модели линейной системы

На рис. 3.29 показано, как с помощью функции ss происходит переход от передаточной функции (3.128) к описанию системы уравнениями (3.127), где

Представление передаточной функции (3.128) в виде модели в переменных состояния приведено на рис. 3.30.

Рис. 3.29. Преобразование передаточной функции (3.128) в форму фазовой переменной в пространстве состояний: (а) Скрипт МАТLАВ. (b) Распечатка результата


Рис. 3.30. Структурная схема системы, где л, есть самая левая переменная состояния

Решение первого из уравнений (3.127) имеет вид:

Матричная экспоненциальная функция в (3.129) есть переходная матрица состояния Ф(t), т. е. Ф(t) = ехр(Аt). Для вычисления переходной матрицы состояния при заданном шаге дискретности по времени используется функция ехрm, как это показано на рис. 3.31. Функция ехрm(А) вычисляет е^А . Напротив, функция ехр(А) вычисляет для каждого элемента а_ij матрицы А.
Рассмотрим, например, RLС-цепь на рис. 3.4, описываемую уравнением состояния (3.18), где

Зададимся начальными условиями х₁(0) = х₂(0) = 1 и будем считать, что входной сигнал = 0. При шаге дискретности 0,2 с вычисленная переходная матрица состояния приведена на рис. 3.31 . На основании этих данных можно определить состояние системы в момент времени t = 0,2 с:

Временные характеристики системы, заданной передаточной функцией (3.128), можно также получить с помощью функции Isim. Эта функция допускает как задание ненулевых начальных условий, так и входной функции, что проиллюстрировано на рис. 3.32. На рис. 3.33 показано, как с помощью функции Isim вычисляется реакция RLС-цепи. Состояние цепи в момент времени t= 0,2 с, вычисленное с помощью функции Isim, равно x₁(0,2) =х ₂ (0,2) = 0,6703. Как видим, этот результат полностью совпадает с данными, полученными ранее путем умножения переходной матрицы состояния на вектор начальных условий.



Рис. 3.31. Вычисление переходной матрицы состояния при заданном шаге дискретности


Рис. 3.32. Функция Isim для вычисления состояния и выходной переменной

Рис. 3.33. Вычисление с помощью функции |51т временных характеристик при ненулевых начальных условиях и отсутствии входного сигнала