Лекция №7. Обработка результатов наблюдений. Формы представления результата измерения

7.4. Совместное измерение
Этот вид измерений характерен тем, что его целью является установление функциональной зависимости между двумя величинами. Для отыскания зависимости y = f(x) между переменными последовательно устанавливают и измеряют значения x, одновременно измеряя значения y. В результате измерений получают координаты исследуемой зависимости (x_i, y_i). Так как результаты измерения x и y содержат погрешности, полученные координаты не будут принадлежать истинной зависимости. Поэтому при выполнении совместных измерений, возникает задача аппроксимации зависимости y = f(x) по экспериментальным данным так, чтобы она наилучшим образом описывала истинную зависимость. Кроме того, необходимо ответить на следующие вопросы:
1. действительно ли аппроксимирующая функция наилучшим образом приближается к искомой зависимости;
2. какой мерой можно оценить приближение экспериментальной зависимости к истинной.
Подобные задачи решаются с применением метода наименьших квадратов. В этом методе оценки параметров зависимости определяют из условия, что сумма квадратов отклонений расчетных значений аппроксимирующей функции от экспериментальных значений должна быть минимальна. При этом предполагается, что результаты измерений (x_i, y_i), i = 1, 2, … m удовлетворяют следующим условиям:

0. 
   - значения аргумента x_i известны точно;
   
1. 
   - систематические погрешности исключены, и результаты измерений y_i содержат лишь случайные погрешности, которые независимы и имеют одинаковые дисперсии;
   
2. 
   - погрешности измерения y_i имеют нормальное распределение.
   

На практике часто встречается случай построения методом наименьших квадратов линейной зависимости y = A + Bx, где A и B – постоянные. График функции – прямая линия с углом наклоном  = arctg B, пересекающая ось ординат в точке с координатой A.
Каждая экспериментальная точка попадает в поле прямоугольника со сторонами 2x, 2y. В случае малых погрешностей экспериментальные точки будут иметь отклонения от идеальной прямой только в пределах погрешности измерения y_i.
Задача определения наилучшей прямой, аппроксимирующей набор из m экспериментальных точек (x₁, y₁), … (x_m, y_m) сводится к отысканию значений постоянных А и В.
В теории метода наименьших квадратов показано, что наилучшие значения для постоянных А и В – это те, для которых имеет место минимальное значение выражения:
(7.9)

Здесь - стандартное отклонение погрешности измерения y.

Продифференцировав (7.9) по А и по В и приравняв производные нулю, получим систему уравнений для определения искомых постоянных:
;
,
Здесь .
Представление о приближении аппроксимирующей функции к истинной зависимости получим, оценив погрешности в определении постоянных А и В. Погрешности ΔА и ΔВ находят расчетом по правилам косвенных измерений, исходя из погрешностей измерения Δy₁, … Δy_m.
Стандартные отклонения погрешностей S(y), S(A) и S(B) можно вычислить по формулам:
;
;
.

Метод наименьших квадратов используется для решения задач аппроксимации многих зависимостей, в том числе выражаемых:

- полиномами y = A + Bx + Cx²+ +…+ Hx^m ;
- экспоненциальными функциями y = A exp(Bx),
где А, В, С, …, Н – постоянные коэффициенты.