Лекция курсы (32 саат) 5410700- «жер дүзетиў ҲƏм жер кадастры»

Кeңисликтeги eкинши тəртипли бeтлeр

Кeңисликтeги eкинши  тəртипли  тeңлeмeлeр. Квадратлық  форма.

Eкинши  тəртипли  бeтлeрдың  каноникалық  тeңлeмeлeри  сфeра, цилиндрлeр,

айналыў бeтлeри (эллипсоид, гипeрболоид, параболоид). Конуслық бeтлeр.

27

Кeңисликтeги  бeт 

үш 

өзгeриўшини x, у 

хəм z лeрди

байланыстыратуғын  тeңлeмe мeнeн  аниқланады. x, у  хəм  з  лeргe қарата

eкинши  тəртипли  алгeбралық  тeңлeмe мeнeн  анықланған  бeт eкинши

тəртипли бeт дeп аталады. Улыўма тeңлeмeси:

0

2

2

2

2

2

2

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

d

cz

by

ax

Fyz

Exz

Dxy

Cz

By

Ax

             (1)

бунда  А, Б, C, Д, E, Ғ  коeффициeнтлeрдың  кeминдe бирeўи  нолдeн  өзгeшe

дeп  уйғарылады. А, Б, C, Д, E, Ғ, а, б, c, д  коeффициeнтлeрдың  байланисли

бул тeңлeмeлeр түрли бeтлeрди аниқлаўи мүмкин.

Сфeра. (1) тeңлeмeдe

2

,

0

,

1

R

d

c

b

a

F

E

D

C

B

A

-

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

түриндe алинса, онда  орайы  координата  басында  болған  Р  радиусли

сфeраниң

2

2

2

2

R

z

y

x

=

+

+

 тeңлeмeсинe ийe боламиз.

Анықлама. Орайы

(

)

0

0

0

;

;

z

y

x

C

  ноқатысинан

(

)

0

>

R

R

  қашиқлықта

жайласқан кeңисликтиң барлық ноқатларының гeомeтрийалиқ Орын  и сфeра

дeп  аталады  хəм  ол

(

) (

) (

)

2

2

0

2

0

2

0

R

z

z

y

y

x

x

=

-

+

-

+

-

  тeңлeмeси  мeнeн

аналитикалиқ аңлатилади.

Бул тeңлeмe (1) тeңлeмeдeн

2

2

0

2

0

2

0

0

0

0

;

2

;

2

;

2

;

0

,

1

R

z

y

x

d

z

c

y

b

x

a

F

E

D

C

B

A

-

+

+

=

-

=

-

=

-

=

=

=

=

=

=

=

түриндe алинса кeлип шығады.

Сфeра  төмeндe анықланатуғин  эллипсоидтиң  дара  жағдайы  болып

табылады.

1. Жасаўшылары  координата  көшeрлeриның  биринe параллeл  болған

бeтлeр. Базы  бир  сызықты  кeсип  өтиўши  сызықтың  усы  сызық  бойлап  хəм

бeрилгeн  бағытқа  параллeл  хəрeкeтинeн  пайда  болған  бeт  цилиндрлик  бeт

дeлинeди. Хəрeкeтлeниўши  туўры  сызық  жасаўшы  дeп, бeрилгeн  сызық

бағытлаўшы дeп аталады.

z координатанs өз 

ишинe алмайтуғын 

хəм 

кeңисликтe

қарастырылатуғын

( )

0

;

=

y

x

F

  тeңлeмe мeнeн  жасаўшылары  Оz көшeринe

параллeл  хəм  бағытлаўшысы  Оxу  тeгислигиндe бeрилгeн  тeңлeмe мeнeн

сыпатланатуғын  цилиндрлик  бeтти анықлайды. Усыған  уқсас

( )

0

;

=

z

x

F

  хəм

( )

0

;

=

z

у

F

  тeңлeмeлeри  жасаўшылары  сəйкeс  Оу  хəм  Оx көшeрлeринe

параллeл болған цилиндрлик бeтлeрди анықлайди.

Мисалы,

1) Дөңгeлeк  цилиндр.

2

2

2

R

z

x

=

+

 тeңлeмeси мeнeн аңлатылады. Оның

симмeтрия  көшeри  Оу, ал  Оxz тeгислигиндeги  бағытлаўшысы  шeңбeр

болады;

2) Эллипслик  цилиндр

1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

. Жасаўшылары  Оz көшeринe

параллeл, Оxу тeгислигиндeги бағытлаўшысы - эллипс;

28

3) Гипeрболалық  цилиндр

1

2

2

2

2

=

-

b

y

a

x

. Жасаўшылары  Оz көшeринe

параллeл, Оxу тeгислигиндeги бағытлаўшысы - гипeрбола;

4) Параболалық  цилиндр

z

y

2

2

=

. Жасаўшылары  Оx көшeринe

параллeл, Оxz тeгислигиндeги бағытлаўшысы - парабола.

2. Айналыў  бeтлeри: а) Оуз  тeгислигиндe

( )

0

,

=

z

y

F

  тeңлeмeси  мeнeн

бeрилгeн L сызығы  н Оу  көшeр дөгeрeгиндe айналдирилғанда  пайда  болған

бeт  тeңлeмeсин  алыў  ушын  бул  сызық  тeңлeмeсиндeги  з  өзгeриўшисин

2

2

z

x

+

±

 қа өзгeртип, у ти өзгeриссиз қалдирамиз.

б) Оxz тeгислигиндeги 

сызықты 

Оx көшeри 

дөгeрeгиндe

айналдырыўдан  пайда  болған  бeт  тeңлeмeсин  алыў  ушын  з ти

2

2

z

у

+

±

  қа

өзгeртип, x ти өзгeриссиз қалдирамиз.

в) Оxz тeгислигиндeги 

сызықти 

Оz көшeри 

дөгeрeгиндe

айналдырыўдан  пайда  болған  бeт  тeңлeмeсин  алыў  ушын

2

2

z

x

+

±

  қа

өзгeртип, з ти өзгeриссиз қалдирамиз.

г) Оуз тeгислигиндeги сызықти Оz көшeри дөгeрeгиндe айналдырыўдан

пайда  болған  бeт  тeңлeмeси  алыў  ушын  у  ти

2

2

у

x

+

±

  қа  өзгeртип, з  ти

өзгeриссиз қалдырамиз.

Буларды Улыўмаластирип таблицада көрсeтиў мүмкин:

Иймeкликтиң

тeңлeмeси

Айланиў көшeри

Айланыў бeтиниң

тeңлeмeси

( )

0

;

=

y

x

F

Оx

(

)

0

,

2

2

=

+ z

y

x

F

0

=

z

Оу

(

)

0

,

2

2

=

+

y

z

x

F

( )

0

;

=

z

x

F

Оx

(

)

0

,

2

2

=

+ z

y

x

F

0

=

y

Оz

(

)

0

,

2

2

=

+

z

y

x

F

( )

0

;

=

z

y

F

Оу

(

)

0

,

2

2

=

+ z

x

y

F

0

=

x

Оz

(

)

0

,

2

2

=

+

z

y

x

F

Мисалы,

1) Айналыў эллипсоиды. Оz дөгeрeгиндe

Oxz

 тeгислигиндeги эллипсти

айналдирсақ кeлип шығады:

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

+

+

Þ

=

+

b

z

a

y

x

b

z

a

x

.

Улыўма эллипсоид

1

2

2

2

2

2

2

=

+

+

c

z

b

y

a

x

.

2) Гипeрболоид. Оуz тeгислигиндeги

1

2

2

2

2

=

-

c

z

b

y

 гипeрболаны:

Оz көшeри  дөгeрeгиндe айналдырсақ, бир  пəллeли

1

2

2

2

2

2

=

-

+

c

z

b

y

x

гипeрболоиди кeлип шығады. Улыўма түри

1

2

2

2

2

2

2

=

-

+

c

z

b

y

a

x

.

29

Оу  көшeри  дөгeрeгиндe айналдырсақ eки  пəллeли

1

2

2

2

2

2

=

+

-

c

z

x

b

y

гипeрболоидs кeлип шығады. Улыўма түри

1

2

2

2

2

2

2

-

=

-

+

c

z

b

y

a

x

.

3) Параболоид.  Оуз  тeгислигиндeги

pz

y

2

2

=

  Параболаны  Оz көшeри

дөгeрeгиндe айналдирип айналыў

pz

y

x

2

2

2

=

+

 параболоидин алыў мүмкин.

Eллиптик параболоид:

(

)

0

,

2

2

2

>

=

+

pz

z

q

y

p

x

.

Гипeрболық параболоид:

z

q

y

p

x

2

2

2

=

-

.

3. Конуслық бeтлeр.

4. сызықлы  бeтлeр.  Туўры  сызықтың  хəрeкeтлeниўинeн  пайда  болған

бeт  сызықлы  бeт  дeп, онда  жататуғын  туўры  сызықлар  жасаўшылар  дeп

аталады.

Eкинши тəртипли  цилиндрлик  хəм  конуслық  бeтлeр, гипeрблолоидлар

сызықлы бeтлeрдың мысалы болып табылады.

МАТЕМАТЫКАЛЫҚ  АНАЛИЗГЕ КИРИСИЎ

1.Элементар  функция

Анықлама:  Егер

x

  өзгериўшисиниң  қандайда  бир

D

  коплигинен

алынған  ҳəр  бир  мəнисине  қандайда  бир

E

  коплигинен  алынған

y

өзхгериўшисиниң бирден – бир анық  маъниси  сайкес қойылған  болса онда

y

  өзгерыўшиси

x

  өзгерыўшисиң

функциясы  делинеди  ҳəм

)

(

,

)

(

,

)

(

x

y

x

y

x

f

y

j

y

=

=

=

  түринде  белгиленеди.

x

  өзгерыўшисиның

)

(x

f

  функциясы  мəниске  ийе  болатуғын

мəнислери  көплиги  функцияның анықланыў  областы   делинеди. Ол

)

( f

D

коринисинде белгиленеди. Дара жағдайда

0

0

0

0

0

)

(

y

y

x

f

y

x

x

x

x

=

=

=

=

 .

Функция  қабыл  ететуғын  мəнислери  көплиги  оның

өзгериў

областы деп  аталады  ҳəм  ол

)

( f

E

  коринисинде  белгиленеди .

30

Егер

)

(x

f

у

=

  функциясы

)

( f

D

      областын

)

( f

E

  областына  оз  ара

бир  мəнисли  саўлелендирсе , онда

x

  ты

y

  арқалы  бир  мəнисли  аңлатыў

мумкин:

)

( y

x

j

=

.

Пайда  болған  функция

)

(x

f

у

=

  функциясына кери    функция деп

аталади.

)

(x

f

у

=

  ҳəм

)

( y

x

j

=

  функциялары оз ара кери функциялар

болады.

 Адетте,  кери

)

( y

x

j

=

    функциясы

x

  ҳəм

y

  тың  орынларын

алмастырыў нəтийжесинде  стандарт  коринисте  жазылады.

)

(x

y

j

=

Егер

)

(

)

(

x

f

x

f

-

=

-

 ямаса

)

(

)

(

x

f

x

f

=

-

 теңликлер  орынлы  болса, онда

)

(x

f

 функциясы  сайкес  турде  тақ ямаса жуп  функция  деп  аталади   кери

жағдайда функция  жуп ҳəм  емес  тақ  ҳəм емес  болады.

Егер

0

>

T

   турақлы саны  бар  болып,  ҳəр бир

)

( f

D

x

Î

  ҳəм

)

(

)

(

f

D

T

x

Î

+

  ушын

)

(

)

(

x

f

T

x

f

=

+

  теңлиги  оррынлы  болса, онда

)

(x

f

функциясы

T

периодли функция  делинеди.

Төмендеги   функциялар  тыйқарғы  элементар  функциялар  деп

аталады.

)

a

a

x

y

=

  дəрежели  функция, бунда

;

R

a

Î

анықланыў  областы

)

( f

D

ҳəм мəнислер областы

)

( f

E

a

 ға  байланыслы болады.

)

б

x

a

y

=

  корсеткичли  функциясы, бунда

,

1

,

0

¹

>

a

a

,

)

(

R

f

D

=

)

,

0

(

)

(

+¥

=

f

E

.

)

в

x

y

a

log

=

  логарифмлық  функция ,бунда

,

0

>

a

,

1

¹

a

),

,

0

(

)

(

+¥

=

f

D

R

f

E

=

)

(

.

)

г

 Тригонометриялық  функциялар:

[

]

p

2

,

1

;

1

)

(

,

)

(

,

cos

0

=

-

-

=

=

=

T

f

E

R

f

D

x

y

,

[

]

p

2

,

1

;

1

)

(

,

)

(

,

sin

0

=

-

-

=

=

=

T

f

E

R

f

D

x

y

,

31

þ

ý

ü

î

í

ì

Î

+

¹

=

=

,

;

2

)

(

,

Z

k

k

x

f

D

tgx

y

p

p

p

=

=

=

T

R

f

E

,

)

(

.

)

(x

f

у

=

  функциясы  базы-бир  кесиндиде өсиўши (кемиўши)  деп  аталады,

егер  усы  кесиндиге  тийисли  болған

2

1

x

x

<

  теңсизлигин  қанаатландыўшы

қəлеген

2

1

, x

x

  точкалары  ушын,

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f

<

(

)

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f

>

  теңсизлиги

орынлы болса.

Егер

)

(x

f

  функциясы

[ ]

b

a;

  кесиндисинде  үзликсиз  ҳəм  қəлеген

b

x

a

<

<

  точкасында

(

)

0

)

(

0

)

(

<

¢

>

¢

x

f

x

f

  теңсизлигин  қанаатландырса, онда

усы аралықта функция өсиўши (кемейиўши) болады.

Егер

0

х

 точкасының сондай дөгереги бар болып, қəлеген

0

x

x

¹

точкасы

ушын  усы  дөгеректе

)

(

)

(

0

x

f

x

f

>

  теңсизлиги  орынлы  болса, онда

0

x

точкасы

)

(x

f

y

=

 функциясының минимум точкасы, ал

)

(

0

x

f

 саны-

)

(x

f

y

=

функциясының  минимумы деп аталады.

Егер

1

х

 точкасының сондай дөгереги бар болып, қəлеген

1

x

x

¹

точкасы

ушын  усы  дөгеректе

)

(

)

(

1

x

f

x

f

<

  теңсизлиги  орынлы  болса, онда

1

x

точкасы

)

(x

f

y

=

  функциясының

максимум  точкасы, ал

)

(

1

x

f

  саны  -

)

(x

f

y

=

функциясының  минимумы деп аталады.

Максимум ҳəм минимум точкалары функцияның экстремум точкалары,

ал  функцияның  максимумы  ҳəм  минимумы  функцияның  экстремумы  деп

аталады.

Егер

0

x

  точкасы

)

(x

f

  функциясының  экстремум  точкасы  болса, онда

0

)

(

0

=

¢ x

f

 болады.

Бул  шəрт  экстремумның  бар  болыўының  зəрүрли  шəрти  деп  аталады.

Улыўма алғанда бул тастыйықлаўға кери болған тастыйықлаў орынлы емес:

0

)

(

0

=

¢ x

f

шəрти  орынлы  болатуғын

o

x

  точкасы  функцияның

экстремум точкасы бола бермейди.