Limitlarni toping

1. 1- §. U3LUKSIZ FUNKSNYaLAR. FUNKSNYaLARNING UZNLISh NUKTALARI

1. 
   Agar tenglik o‘rinli bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksyaz deyiladi.
   
2. 
   Argumentning va kุnymatlari orasidagi ayirma argumentnnng nuqtadagi orttnrmasi deynladi va orqali belgilanadn. Funksiyaning va nuqtalardagi qyaiymatlarining - aynrmasi esa funksiyaning nuк̨tadagi orttirmasi deyiladi va orqali belgilanadi.
   

Uzluksizlћkning ta’rifnni yana qุuyһdagicha ifodalaџ Mumkin:
Arap
tenglik O‘rinli bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyeladi.
T yeorem a. funkchiya kukmada uzluksuz bo‘liui

ko‘ы tengliknine bajariliui zarur va yetarlidir.
A gar qุo‘sh tenglik biror joyidan buzilsa, nuқ̨ta funksiyanitg uziliџ nuқ̨tasi deyiladi.
funksiyaning uzilish nuqtasi bulsin. Agar va ni byalan, ni bilan belgilash mumkin) bir tomonli chekli li. mitlar mavjud bo‘lsa, u xolda funksiyaning 1- tur uzilish nuqtasi deyiladi. Uzilish nuqtasinnng bundan boshuqุa barcha xุollari 2- tur uznlish nuқ̨talari deyiladi. 1- tur uzilish nuқ̆talarn yakki xil bo‘ladi:
a) agap tenglik o‘rnnli bo‘lsa, u xุolda da funksiyaning uzluksizligini tnklash mumkin. rak.
Buning uchun deb oliщ ke-

6. 
   Arap bӱlsa, u xolda funksiya da sakrashga ega deyiladi. Sakrash kattaligi ga teng buuladg.
   

Agar funksiya intervalping xar bnr nuqta* sida uzluksiz bo‘lsa, u xalda funksiya intervalda uzluksiz deynladi.
Agar funksnya intervalda uzluksiz bo‘lib, nuqtaning o‘ng tomonidan, nuqุtaning chap tomonidan uzluksiz bo‘lsa, u xolda funksiya segmentda uzluksiz deyiladi.
Barcha elementar funksiyalar o‘zlarining aniqљlanish soxุalarida uzluksizdnr.

219. 
     Elementar funksiyalar
     

1. 
   
   
2. 
   
   

nnng o‘zlarining aniqlanish soxalarida uzluksiz ekanini kӱrsating.
Avval funksiyalarning aniqұlanish soxalarini topamiz, su๊ngra uzluksizlikning ta’rifidan foydalannb. o‘sha soxada funksiyaning uzluksizligini ko‘rsatamiz.

1. 
   Funksiyaning annqlanish soxasi ; ni olamiz va unga orttirma berib, funksiyaning nuqtadagi orttirmasini topamiz:
   

.
Endi bo‘lsin, u xุolda ning xar qุanday qiymatida bo‘ladi.
Demak, uzluksizlikning ta’rifiga ko‘ra berilgan funksiya da uzluksiz bo‘ladi.

2. 
   funksiya sonlar o‘qining , , lardan boshqุa xamma nuқ̧talarida aniqlangan. Xuddi yuqoridagidek muxokama yuritib, funksiya orttirmasi ni, so‘ngra ni topamiz:
   

$$
=\frac{2 \cos x}{\sin ^{2} x} \cdot 0=0 \text {, bunda } x \neq k \pi, k=0, \pm 1, \pm 2, ···
$$
Demak, elementar funksiyaning uzluksizlik soxุasi bilan aniqุlannsh soxุasi bir xil ekan.
Quyyadagi funksiyalarni uzluksizlikka tekshiring, uznlish nuqtalari va ularning turlarini aniqlang. Grafiklarini yasant.
220. 1)
2)
3)
5)
1) funksiya sonlar o‘qining dan boshqุa xৃamma nuqtalarnda aniqlangan. Bu funksiya elementar funksiya bo‘lgani uchun u uzzining aniqlanish soxasnda uzluksizdir. funksiya nuqttalarda aniqlanmagan, shuning uchun_ џi uzilishga tekshiramiz.

15- Chा:3
a) , demak, nuqtada funksiya 2- tur uznlishga era. 6) xoolda xam 2- tur uzilish mavjud.
E atma. Funksnyani uznlishta tekshirganda , lardan biri yoki Birmasa xem bulapi, lekin fuyuksiya grafigini chizishda xar ikkala. sini xisoblash foydadan х̨oli bu.tmaydi.
funksnyaning grafigi 15-chizmada tasvirlangan. 2) funksiya elementar bo‘lib, u sonlar o‘qining dan boshqa xamma nuqtalarnda aniqlangan. Demak, nuк̨tada funksiya uzg‘ishga ega. Uzilish xarakternni tekshiramiz:

Lemak, funksiya nuqtada 1 - tur uzn-

gan xeoli yuz beradi. Sakrash kattaligi

yuqุorndagi funksiyaning grafigi 16- chizmada tasvirlangan.

3. 
   funksnya son.tar o‘sining nukุtasndan
   

]6. บหama boshqุa xุamma nuqtalarida aniqlangan elementar funksiya. Shuning uchun sonlar o‘ksining nuqtasndan boњqa xaama nuқ̨talarida uzluksiz va nuqtada funksya uznlishga ega. Uzilish xarakterini tekџiramiz:

Demak, da 1- tur uzilnshning sakrashga ega bo‘lgan xoli. Sakrash kattaligi . funksnyaning grafigi 17- chizmada tasvirlangan.

4. 
   funksiya sonlar o‘qุining xamma nuқ̨talarida aniqlangan, lekin bundan u uzluksnz xaa degan ma’no kelnb chiqmaydi, chunki funksiya 2 ta xaar xnl formulalar yordamida berilgan noelementar funksyayayadi. Bu funksiya uning aџaЈitik nfodasining uzzgargan nuӊtasi
   

17. 
    chizma da uzilnshga ega bo‘lishi MuMknn, nuQtada funksiyayai tekshiramiz.
    

, chunki ikki nukุtannng chap tomonida , ung tomonida . Demak, nuqtada 1- tur uzilishning sakrash*
ga ega bo‘lgan xุoli beradi va

funksiya nuqtadan boshqุa xamma nuqtalarda uzluksizdir, chunki uni tashkil etgan nkkita funksiya elementar uzluksiz funksiyalardir.

18- chizma
funksnyannng grafigi 18. chіzmada tasvirlangan.

5. 
   Epementar bo‘lmagan funksiya sonlar O‘nning nuqุtasidan boџqa xamma nukุ. talarda annqৃlangan. Demak, funksiya nuqุtada uzilษshga ega.
   

nuqุtada uzilish xarakternni tekshiramiz:

Demak, Funksiya nuqtada 2- tur uzilishga eta. funksiya analitik ifodasining. uzgargan nuqtasi nuqุtani tekshiramnz. Bu nuqุtada funksiya uzilishga ega bo‘lishi Mumkin.


ЏІunday Ћilnb, Funksiya nuKttada I-tur U3N.I山นnG sakra山Ga EGa bo‘lgan xุolnga उGa va sakpa山 KaTTaliGi
$$
-\phi(-1-0) \mid=4 \text {. }
$$

larida berilgan funksiya YzluksIz. UnnnG grafiGN

19. 
    chizma 19-chizmada k ursatnlgan.
    

Ta’rnfga 6nnoan kuyndagi Funksiyalarning uzluksizliGHNn KsGotlang:

221. 
     , barcha गarda.
     
222. 
     , Barcha गarda.
     
223. 
     6archa lapda.
     
224. 
     , 6apcha गarda.
     

Kuyndagi funksiyalarnnng uznlish nuktanarn va u larNing turlarnni aniqdlang. Grafnklarini भsanG.
225
226.

227.


228.

229. 
     . 230. .
     
230. 
     232. .