Линейная алгебра. Основные сведения о матрицах. Виды и свойства матриц. Операции над матрицами

Например,

• Например,
• Если , то .
• Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
• Например, .
• Частный случай: произведение матрицы на число 0 есть нулевая матрица, т.е.

2) Сложение матриц

• Определение. Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С = А + В, элементы которой равны суммам элементов матриц А и В, расположенных на соответствующих местах, т.е. матрицы складываются поэлементно:
• для

Например,

• Например,
• Частный случай: А + О = А.

3) Вычитание матриц

• Определение. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции:
• А – В = А + (−1) ∙ В.
• Например,

4) Умножение матриц.

• Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
• В результате умножения получится матрица С, у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В, т.е.

т.е.

• т.е.

Элементы матрицы С вычисляются по формуле:

• Элементы матрицы С вычисляются по формуле:
• ,
• т.е. каждый элемент равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
• Правило. Для получения элемента , надо элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить .