Линейные отображения

Линейные отображения и их матрицы

Выполнил: Ишметов Акбар (206R – MI)
Научный руководитель: Эштемирова Ш.Х

План: Линейные отображения. Ядро и образ линейного отображения. Матрица линейного отображения.

Линейные отображения

• Мы будем говорить, что отображение из линейного пространства P в линейное пространство Q линейно если удовлетворяет следующим условиям
• 1)
• 2)
• Здесь это элементы пространства P, а , , , , , элементы пространства Q

•  

Примеры линейных отображений

• 1) Тождественное отображение
• Отображение пространство P в себя при этом образом каждого вектора становиться сам вектор. Условия линейности очевидно выполняются
• 2) Умножение каждого вектора на число:
• Отображение переводит пространство P в себя при этом образом каждого вектора становиться вектор умножаемы на число x
• Условия линейности выполняются
• 1.
• 2.

•  

Примеры линейных отображений

• Пусть P – пространство многочленов степени не выше трех (многочлены степени не выше трёх образуют линейное пространство)
• Q – двумерное векторное пространство
• Отображение ставит в соответствие многочлену пару его старших коэффициентов:
• Свойства линейности выполняются.

•  

Примеры линейных отображений

• Сумма переходит в сумму:
• Произведение на число переходит в произведение на число:

•  

Свойства линейных отображений

1)

Действительно

Где а – любой вектор

2)

Действительно

3)Выражение вида , где некоторые числа, векторы, мы будем называть линейной комбинацией векторов

При линейном отображении линейная комбинация векторов переходит в линейную комбинацию:

•  

Ядро линейного отображения

• Ядро линейного отображения множество векторов пространства P переходящих в 0 при отображении
• Обозначается
• Утверждение. Ядро линейного отображения образует линейное подпространство линейного пространства P
• Доказательство. Докажем что если и то
• 1.
• 2. где любое число

•  

Ядро линейного отображения

• 1.
• Отображение линейно значит
• Это и значит что
• 2.
• Отображение линейно значит
• Итак ядро линейного отображения образует линейное подпространство

•  

Образ линейного отображения

• Образ линейного отображения множество векторов пространства P, в которые переходят какие то векторы пространства при отображении

Обозначается

найдется такой что

Утверждение. Образ линейного отображения образует линейное подпространство линейного пространства Q

Доказательство. Докажем что если и то

1.

2. где любое число

•  

Образ линейного отображения

• 1.
• Отображение линейно значит
• Это и значит что
• 2.
• Значит

•  

Матрица линейного отображения

• Пусть базис пространства P
• Узнаем куда отображение переводит базисные векторы
• Для этого нужен базис пространство Q
• Пусть базис пространства Q
• Образы базисных векторов

•  

Образ любого вектора

• мы воспользовались линейностью отображения Теперь подставить
• Воспользуясь дистрибутивностью умножения на число в линейном пространстве получим:

•  

Другими словами

• Другими словами
• Координаты вектора в базисе :
• -тый столбец матрицы

•  

Матрица отображения

• - матрица по столбцам которые записаны образы базисных векторов пространства P при действии отображения
• Пример
• Пусть линейное отображение действующее из пространства многочленов степени не выше 3 в пространство многочленов степени не выше 2:

•  

Выберем в пространстве многочленов степени не выше 3 базис в пространстве многочленов не выше 2 базис

• Выберем в пространстве многочленов степени не выше 3 базис в пространстве многочленов не выше 2 базис
• Найдем координаты
• Значит матрица перехода в этих базисах запишется:
• Действительно, скажем

•