Линейные задачи для уравнений Линейные задачи для гиперболических уравнений

(721)

7.
которая с ТОП\0стью до множителя является сферическим средним по сфере радиуса t с центром в точке (х, у), Будем считать, что функция q(r, у) дважды непрерывно дифференцируема. Тогда можно убедиться непосредственно, Что функция v(x, у, t) в полупрстранстве t О ухи» влетворяет волновому уравнению
+ VY2Y2 = t'tt. (72,2)
На границе полупространства t > О функция ш (т, Ч, t) обращается в
( 723)
Кроме того,

(724)

Условие четности функции q(r, у) по переменной т приводит к равен (725)
Смешанная задача (7.2.2), (7.2.3), (7.2.5), очевидно, эквивалентна задаче Коши с данными по пространственной переменной х, если функцит Лу, С) продолжить четным образом по и задачу рассматривать во всем дространст•ве т.,у, t_ Покажем, задача эквивалентна уравнению (7,1 ) „ Для этого достаточно показать, что из равенств в которых функштя связана с функцией «г, у) формулой следует равенство (7.1, 1), Заметим, чп) при иу вестнй функции ф, у, 1) функция у) может быть найдена по фоку
(7,2.6)
которая с.лејф'ет из равенства (724) ,
Пусть теперь v(j: , Ч, t) есть решение задачи Обозначим через q(r, Ч) предельн(Р значение производной по от функции ф, у, е) ПРИ t О, Тогда функиия т(г, у, е) удовлетворяет уравнению (72,2) и условиям (7.23), (7.26), т. е, представляет собой решение задачи Коши с данными по t. Как известно, решение такой задачи дается формулой Кирхгофа, которая совпадает с «мэрмудой (7,2 Л), Условие (7.2.5) приводит тогда к равенству

и з котокют, в силу единственности решения задачи интегральной метрии, следует, чп) четная масть функции ъ (т, у) равна нулю, т. е, задачи термоакустики
А условие (7.24) приводит к уравнению (7.1.1), торос нужно решать в классе четных функций. Тем самым эквивазадачи интегральной геометрии задаче установлена, Отсюда, в частности, следует единственность гниения задачи
Покажем, что эта задача неустойчива, Рассмотрим решение задачи при
1 sin
Sin Пи Sin ПИ •
При достаточно больших п и s функция Лу, 1) мала вместе с любым Кк» нечНЫМ числом производных, Непосрщственной проверкой можно убедитьсй, что ЕН1_ление задачи (7.2 дается в этом с.чае форму“
— sinnt sin sinny2 ch ПТ. (727)
При этом решение задачи при л“ом фиксщюванном г ступлп•ся к бес— при п Х, Тем же свойством обладает и функция q(x, у) , дающая рјение-• задачи ( 7,2.1):
Sin пут Sin пп пт.
А это и означит неуслойчивость задачи, и сгиуювательно, ее классическую некорректность- В силу единственности решения задача (7,2, условпо-корректна. Действительно, рассмотрим множество М четных по переменной х функций «г, у) , компактное в пространстве С (например, ограниченное множество функций с ограниченными заданной констаитой первыми производными). Пусть — множество образов (у, г) функций (1 (т, у) М при отображении (7.2.1), Тогда при условии, что решение q(x, у) Е М задачи (7.2.1) существует, оно бу№-т также условно устойчиво в силу теокрмы 2.2.1.
7.3. Обратная задачи термоакустики
Физическая постановка. Рассмотрим область П С упрутй среды, Предположим, что с момента времени = О область П мщвергается электромагнитному излучению интенсивностью , которое частично поглощается средой (7,41. Поглощенная энергия в тепло, ЧТО приводит к увеличению температуры среды, к ее расшијмтию и, в конечном итоге, к появлению воли акустического давления_ распространяясь по среде, волны акустического давления тстьп•ают границы Г области, на части которой Г] они могут быть измерены. Требуется определить коэффиииент поглощения электромагнитного излучения в области П по измерениям акустического давления на части границы Г!.
7,
Используя могрль невязкой жидкости и пренебрегая диффузионными потоками тепла, процесс распространения волн акустического давления в среде можно описать сле.кјщим уравнением:
1 а2и
(73,1) ср at
Здесь с = / — скорость распространения акустических волн (р — плотность; ж сжимаемость); ф, у) — коэффициент поглощения энергии электромагнитногх• излучения; „З — коэффиииент термического расилщ»ния; ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении,
В Начального условия берегся условие отсутствия акустическогт) давления начала облучения:
(7.32)
Как правило, в задачах термоакустики длительность электромаг— нитнот излучения очень мала, что позволяет залатЬ (приближенно)
(t) в виде дельта-функпии Дирака i(t) = Iob(t). (73,3)
Учитывая (7, З, З) , интегрируя два раза по от —Е до -4-Е и переходя к пределу при Е +0, лолрмм следующю задачу:
( 7.3.4) utlt=o — (73,5)
ср
Постановка прямой и обратной задач. Рассмотрим случай, коП = {(r,y)