Линейные задачи для уравнений Линейные задачи для гиперболических уравнений

Г , =

Предполагаем, что функция «х, у) достаточно гладкая и финитная:
supp «х, у) С (О, а) х (—Ь+ а, Ь — а), (73,6) у Е
Обратную задачу сформулируем следующим образом: найТИ = используя (№отнощения (73,7), (7.3,9), (7.3.10) и тполнительную информа
(7.3.11)
Упражнение 7.3.1. Запишите для обратной задачи целевой функционал и найдите его градиент.
7.4, Линеаризованная многомерная Мратпая задача , .
7 4. Линеаризованная многомерная обратная задача для волнового уравь-ения
В данном разделе мы рассмотрим задачу опре:ијеиия скорости рас— пространсния волн в полупространстве (2, у) Е R + У в случае, когда скорость представима в виде = + с: (2, у), функция с] много меньше с; и отлична от Нуля лишь в конечной области полущх)с-гранства (7 , 1]. Будем исследовать линеаризованный вариант обратной задачи 7.2, 7.3], для которого докажем теорему единственности, получим оценку условной устойчивости и посојим гиту лиризирующее семейство, сходящееся к точному решению линеаризованной обратной задачи,
Постановка задачи. Предпојюжим, что скорость распу»странения волн в полупространстве (г, у) R + х Rn, у = (И, ' уп), имеет следующую струк туру:
= c3(z) + у), (741)
Предположим также, что функции со и с: утвттворякуг условию АО: 1) со е c2(i+), = о;
2) существуют постоянные ЛЬ, Ма, мз Е R+, такие, что ПРИ всех
Е R+ выполнены неравенства о « мл co(z) 112, мз; (7.4.2)
З) функция (Л (г, у) отлична от нуля лишь в области (г, Ч) € (О, Н) х r„Pl),
г де

(743)

Предположим, что до момента времени i = О среда находилась в
(7-4,4)
и в момент времени t = О на границу z О полупространства Х Падает волна заданной формы
( 7.4.5)
(7.4.6) на границе

Обратной будем называть задачу определении c(z, у) из соотношений (в предположении, чо со(2) известна и выполняются условия АО),
Линеаризация. Прежде чем приступить к линеаризации обратной задачи покажем, Как На основе принципа конечной области зависимости решения гиперболического уравнения от его козффипиентов и от начальных и граничных условий можно локализовать обрали ную задачу, т. е, ограничиться заданием дополнительной информации (7,4, 7) лишь на некотором ограниченном Подмножестве, гиперплоскости z = О и для некоторого конечного интервала времени,
В силу предположения (7,4, 1) и условия Ао минимальное возможное вреия, за ко-Т)рое возмущение, порожденное падающей волной успеет достигнуть глубины яри всех у Е и вернуться на поверхНос—гЬ О, равно Т), 2h/(Ml — о),
Сыт•довательно , волны , отраженные от неоднородности соответствующей функции (z, у), в силу финитности этой функции, а также в сиду условия успевают за время достигнуть гиперплоскостей = р, 1,п, +1'h(M2 +0),
Предлоложим, что падающая волна является плоской волной на некотором участке поверхности = О, простирающемся над областью (п + [)-мерной неоднородности, т, е,
(7.4.8)
Т огда в силу изложенного 7) можно зњменить следующей;
( 0,7),); (749)
(7.4.10)
(7.4.11)
(7.4.12)
(7.4.13)

t E (0,Th)•
TaKMM oõpa30M, peuremre 06paTE0ñ 3aua•AH
(O, Th) Moxno JIOKa.11bHO pagne.nHTb Ha 3TarIbc:
I) peu_leyne 06p8THOñ (7.4,13), (7.4.14), (74,18) H8 rny6HHy h
OripeaeneHMe co (z) ;
2) lymeHMe nPXMOñ (7,4.13), (7.4.14) Ha rny6HHY h
Hue "Ozz,
B nepBb1M
'13yqeHqe CTpYRTypEA peuleHMÃ OZHOMepHOi npRM0i Iaaaqu.
Buay. C
( 7.4.21)
t-t03•roray
sana'"'
Az) — nnoTHoc•rb cpeW, c(z) — CROPOCTB pacnWc-rpaHeHug BOJIH a cpeae, m, Kaw 6yae•r noKa3aH0 B pa3aene 10.2, onHOBpeMeHHO OTNCKaTb c(z) HeB03MOXH0, HO xoncfiwnałtłno a(x)
Haň•rn MOXHO. Ilocue yKa3aH110ü 30.1e.uu nepeMeHE0ü Janaqa CBOAHTCR K 3aaaue onpeaeneHIIA axycTHqecK0ü cpe11H a(r):
Ütt — d T E R+, (7.4.22) 7Ó(t), ü(+o, t) f (t) ' (7.4.23)
vue ucz, t) — aKycrHuecKKR nagaeuae; U(x) O — cxax xecrKOCTb cpeuu; ac(+O), PerrreHHe 06paTTIOü (7.4.22), (7.4.23) 3aKJIKNaeTcg B t) O (X) no H3BeCTEIOü
( 7.4.23)
BepHeMc% K crpyKrypN npAM0ü (7.4.13),
(7.4.14) . ECJTH np0A0TIXKTb Ece paccMaTpHBaeMbłe geTHMM 06pa-
30M no B R _ , v(x, t) fiyner pełneHneM
(7.4.24)
276(x)• (7.4.25)
—ro/co(+O).
PemeHze 3aaaq:M (7.4.24), (7.4.25) MOXHO B Brane v(x, t) re(t — III) p(x, t).
naHHOe trpeuCraBaeHMe B (7.4.24), nony "MM, p(r, t) pełneHneM 3auaqM
92p _ a2p t ER+; (7.4.26)
7 , 4, Линеаризованная многомерная Мратная задача , , ,
Шля р(г, t) определим
A„tlpl = -
Тогда, используя формулу Даламбера для пгндставления решения залачи Коши (7.4.26), (7.4.27), приходим к интегральному уравнению Волы терра вторюго рода относителыю ре, t):
( 7.4.28)
(7429)
- 40(х)]. (7.4.30)
Л емма 7.4.1. Предположим, что а е СВ). Тогда при любых То Е А, t0 Е R + решение интегрального уравнения (7.4.28) существует г, хо + tQ
(7.4.31)
Доказательство. Решение интегрмльного уравнения (7.4.28) будем искать в виде ряда
( 7.4.32)
рс(х, t) = I(x, t). Пусть
Обозначим
Pk(t)

Индукцией по К докажем оценку

В силу того что правая часть установленного неравенства не зависит от х, заключаем, что оценка (7,4.33) верпа для вен К, откуда следует равномерная по (х, t) Е сходимость ряда и неравен ство (7.4.31).
Введя (Означение
приходим к очевидному равенству
Sn+l (т, t) = I(x, t) + Део, ел). Переходя в этом неравенстве к пределу при п х, полущаем, что p(r, Е) есть непрерывное в Д(то , to) решение интегрального уравнения (7.4.28).
Лемма 7.4.2. Пусть а Е (ЛЕ), х R + ) — множество функций р(г, t), непрерывных в R всюду, кроме, возможно, линии t = Тогда решение интегрального уравнения (7.4.28) имеет частные пршп• вшные первого порцкд по и т, принадлежащие классу х R+) и утвлетворяющие неравенствам sup tE R+, 1, 2,
раз (х, t) =
C yqeT0M (7.4.29) neMMH 7.4.2 BepH0.
w raccy
(7.4.35)
rae t IR+ , yaou.ze•rnopgzozgyn nepazeucruy
r ue Ms = 1/413/2 + 'TkM4 +
A0Ka3a•reJ1bœrB0 74,2, B Cutry
BCHuy, Epoxre JIOM8HOñ t
TeopeMa 7A.l. IIpeatr1050*ÃM, 'ITO co YAOB.Te-TBOP*eT yCnoBW0 AO. Toraa per_ueHMe 3aua•nr ( 7,4.13) , (7.4 14) cyuec-TBye•T, nprmaanexu•l' Knaccy C2 (t > > O) M "Meer crpyKrypy
( 7.4.36)
113
nepeñne•M K
( 7.437) (7.4.38)
(7.4.39)
(7.4.40)
е) и а(г) определены в (7.4.21). Учитывая представление (7.4.36), нетрудно вычислить пудел функции w(x, y,t) при t — О:
(7.4.41)
С ледовательно, вместо задачи А 39) можно ограничиться ис— следованием задачи
(7.4.42) АС), у Е ie (0,1'h1); w(x, у, А) = •yq(x, у) а, (7.4.43)
(7.4.44)
удовлетворяющая уравнению (7.4.42) и граничным условиям (7.4.43) и (7.4.44), существует, умножим обе части (7.4.42) на ич и проинтегрируем по обл.ти
(0,21'),
Применяя после стандартных преобразований формулу Остроградскг» го, получим тождество
(iydt, (7.4.45)

a raK*e HepaneHcrB0 rpouyom-ra, rrpnxoam.t K (7.4.46).
Для определения обобщенного решения задачи и доКазательства ем существования воспользуемся некотором модификацией Метода Фурье: разделим переменные не как обычно — на пространствекные и временную, а будем искать решение в виде суммы функций типа Х(х,
Будем говорит» чтз функция w(x, у, 2) принадлежит классу р (Т, Р), если иф:, у, t) непрерывна в По переменным (х, t) Д(Т), т. е.
если для любой пары (х, t) Е выполняется условие lim у, е) —
При доказательстве теоккмьг существования обобщенного решения задачи (7.4.42)—(7,4,44) используем очевидные модификации известных утвержде ,
Лемма 7.4.5. Пусть тих:ледовательность у, 0), ит Е
Р(Т, Р), схшится к функции и(х, у , t) в равномерно по (г, t) е АС). тогда и е
Лемма 7.4.6. Пусть последовательность функции у, О) ,
Ит б сходится н себе в равномерно по (x,t) Д(Т), Тогда существует и Е Р(Т, Р), такая, чП) последовательность у, 0) сходится к ф, у, t) в равномерно по (х, с) е дт.
Лемма 7.4.7. Пусть co(z) и ст (z,y) удовттворяют условию АО. Предположим, что существует такая последовательность функций