Линейные задачи для уравнений Линейные задачи для гиперболических уравнений

Глава Линейные задачи для уравнений

Линейные задачи для гиперболических уравнений

В данной главе сначала рассматривается задача Коши с данными на времениподобной поверхности, В разделах 7,1 и 7.2 исследуется задача восстановлеиия функции по её сферическим средним и устанавливается связь этой задачи с некорректной задачей Коши [10.19, 12 , В разделе 7.3 в качестве примера изложен численный метод Гил:леНИЯ обратной задачи термоахустики, Раздел 7.4 посвящен линеаризованной обратной задаче для волномм-ю уравнения.

7.1. Восстановление функции по сферическим средним
Рассмотрим задачу восстановления функции q(x, у1 , уа) до средним значениям этой функции по сферам произвольного конечнопј радиуса с центрами на плоскости г = О, Точку в трехмерном пространстве будем Означать через (х, у), у = (И, 92), а функцлю — через «т, у). Пусть (е, П) (Ч (га, — переменная точка на сфере радиуса г, центр которой помещен в точку (О, у), В этих обозначениях задача определения функции ч(г, у) по ее сферическим средним может быть сформулирована как задача решения интегрального уравнения
(7.1.l)
ПРИ известной функпи_и f(y, г) (г О). Здесь через dw обозначен элемент телесного угла с центром в точке (О, у) , Любая нечетная по переменной Т

PbIBHO AM#epeHunpyeM0ñ no neVYMeHHbIM yl , n.

Bocr1(E1bweMcA MeTOAOM P. Kyparrra [10.191. paccM0T-pHM pe3YäbT8T r:pmaeuemag onep
K yp8BHeHWK_J (7.1. l).


Рассмотрим теперь фиксированную феру с центром в топке (О , у) радиуса г , Вычислив операторы Li = 1, 2) по известной функции .f (у, г), мы найдем моменты первого порядка от функции (Дг, у) на этой сфере. Затем в результате повторного применения операторов Ц (1 = 1, 2) найдем все моменты второго порядка на этй сфере. по переменным УГ , уа, и т. д. Таким Мразом можно вычислить моменты любого порядка по , уа- Например, сферическое сретнее от функции у? име-
фиксированы! )
(7,14)