Линейные задачи для уравнений Линейные задачи для гиперболических уравнений

k-ykv

Ясно, что такими моментами функциж огтгм!елястся однозначно, Для приближенного решения по сиклеме функлий (kl, К2 о, 1,2, . . . ) строим полную систему ортогональных внутри круга К — у: полиномов В, (С) = , ф) с помощью метода ортогон& лизании, Вычисляем ыьэффиииенты Фурье от функции по этой
= L2)f,
К—уКт
7,2, Задача Копти для глперболмческого уравнения с данными „ , „
и находим функцию ФК) в аиле ряда Фурье, Заметим, что особенность функции на границе круга интегрируема.
Мы показали, как с ломошью вычисления некоторых операторов ОТ функции Лу, г) можно построить функцию q(x, у) на каждой фиксированной сфере, Из ясно, чат» для того чтобы однозначно найти функцию q(x, у) всюду (в указанном выше классе), достаточно функцию .f (у, г) задать внутри сколь угодно тонкого цилиндра ly—vol
о сь которого проходит через фиксирјванн-уто точку уо (здесь Е — сколь угодно малое положительное число), Пусть теперь этот цилиндр имеет конечную высоту; О г го (го > О), Тогда с помощью описанного ныте процесса можно найти функцию ч (т, у) на любой сфере, центр которого лежит внутри круга — Е, Т, О, а радиус заключен в пределах от О до , Следовательно, функция , у) вычисляется внутри некоторой трехмерной (Аласти D , Но, зная функцию q(x, у) внутри 1), мы можем вычислить от нее ферические средние по любой сфере с центром на плоскости м; = О, которая не выходит за пределы облм.ти D. Для этоо:) достаточно, чтобы между радиусом сферы r и координатами ее центра (О, у) выполнялись условия если ly—yul
(7-1,5) го, если € е,
Следовательно, можно найти функпи:ю Лу. г) в области, описываемой неравенствами (7.1,5).
Итак, мы установили, что задание фуикиии Лу, г) внутри цилиндра
— Е, О определяет фунииию внутри кругового усеченноп-• конуса, у котороп-• верхнее основание совлњдает• с верхним основанием цилиндра, а образующие наклонены К плоскости = П лод углом 450. Это означает, что функцию f(y, г) нельзя задавать произвольно. Более того, функция ' (у, г), представимая в виде (7.1.1), обладает свойством типа аналитичности: она однсВначно (тределяетг,я своими значениями в сколь угодно узком бесконечном цилиндк» Гу— Е, О В то же. время, ясно, что неаналитическим функциям «х, у) отвечают неаналитические Лу, р).
7.2. Задача Коши для гиперболического уравнения с данными на вреиениподобной птерхности
Покажем, что задача решения уравнения является классически некорректной, Гассмотрим функцию