Listrik magnet I oleh: Dr rer nat. Ayi Bahtiar jurusan fisika fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam universitas padjadjaran bandung

C. MEDAN LISTRIK DALAM BAHAN DIELEKTRIK
Medan listrik makroskopik adalah medan listrik rata-rata didalam daerah kecil
dalam bahan dielektrik yang mengandung sejumlah molekul.
Medan listrik di dalam bahan dielektrik pada dasarnya memiliki sifat yang sama
dengan medan listrik di ruangan hampa, khususnya bahwa medan listrik bersifat
konservatif.
∫
=
•
=
×
∇
0
d
E
E
l
r
r
r
r
Pandang suatu rongga vakum berbentuk silinder kecil yang diletakkan dalam
bahan dielektrik.
S
1
S
2
E
r
A
B
C
D

AB terletak di dalam rongga dan CD terletak di dalam bahan dielektrik.  Karena AD 
dan BC dapat dibuat sekecil mungkin, maka berdasarkan sifat konservatif diatas:
dt
vt
d
v
E
E
0
E
E
=
=
•
−
•
l
r
r
l
r
r
dengan v untuk vakum dan d untuk bahan dielektrik dan t adalah komponen
tangensial.
D. HUKUM GAUSS DALAM DIELEKTRIK 
(PERPINDAHAN LISTRIK)
Hukum Gauss menyatakan bahwa fluk listrik yang melewati suatu permukaan
tertutup sembarang sebanding dengan muatan total yang dilingkupi permukaan
tersebut.
∫
∑
∫
ρ
ε
=
ε
=
•
V
0
i
S
0
dv
1
q
1
da
n
E r
r

Dalam menerapkan Hukum Gauss pada suatu daerah yang mengandung muatan-
muatan yang diletakkan didalam bahan dielektrik, kita harus memperhitungkan
seluruh muatan didalam permukaan Gauss (polarisasi muatan).
Pandang suatu permukaan S yang terletak di dalam bahan dielektrik. Kita berikan
muatan Q di dalam volume pada permukaan S dengan asumsi bahwa muatan ini
berada pada permukaan-permukaan konduktor q
1
, q
2
dan q
3
.
(
)
p
S
0
Q
Q
1
da
n
E
+
ε
=
•
∫
r
r
Dimana:
(
)
∫
∫
+
+
•
+
•
∇
−
=
+
+
=
3
S
2
S
1
S
V
p
3
2
1
da
n
P
dv
P
Q
q
q
q
Q
r
r
r
r
q
1
q
3
q
2
S
bahan dielektrik
S
3
S
2
S
1

(
)
∫
∫
+
+
•
+
•
∇
−
=
3
S
2
S
1
S
V
p
da
n
P
dv
P
Q
r
r
r
r
Teorema divergensi:
∫
∫
•
∇
=
•
S
V
dv
P
da
n
P
r
r
r
r
Maka:
∫
∫
∫
+
+
+
+
+
•
−
=
•
+
•
−
=
2
S
2
S
1
S
S
2
S
2
S
1
S
S
p
da
n
P
da
n
P
da
n
P
Q
r
r
r
r
r
r
(
)
(
)
Q
da
n
P
E
da
n
P
Q
1
Q
Q
1
da
n
E
S
0
S
0
p
S
0
=
•
+
ε








•
−
ε
=
+
ε
=
•
∫
∫
∫
r
s
r
r
r
r
r
Fluks dari vektor (
ε
0
E + P) melalui
permukaan tertutup S sebanding dengan
muatan Q yang diletakkan dalam volume 
yang dilingkupi oleh permukaan S.

Jika kita definisikan suatu medan vektor makroskopik yang baru D (perpindahan
listrik) :
∫
=
•
+
ε
=
S
2
0
Q
da
n
D
:
maka
]
m
/
C
[
P
E
D
r
r
r
r
r
Hukum Gauss untuk perpindahan
listrik
Teorema divergensi:
∫
∫
•
∇
=
•
S
V
dv
D
da
n
D
r
r
r
r
Maka:
ρ
=
•
∇
ρ
=
=
•
∇
∫
∫
D
dv
Q
dv
D
V
V
r
r
r
r
Bentuk diferensial persamaan Gauss 
dalam bahan dielektrik

E. SUSEPTIBILITAS LISTRIK DAN 
KONSTANTA DIELEKTRIK
Polarisasi suatu bahan dielektrik terjadi karena respon terhadap medan listrik di
dalam medium. Derajat polarisasi tidak hanya bergantung pada medan listrik
(makroskopik), namun juga bergantung pada sifat-sifat molekul yang 
membentuk bahan dielektrik tersebut (mikroskopik).
Secara makroskopik, polarisasi didefinisikan :
( )
( )
E
E
E
P
P
r
r
r
r
χ
=
=
χ (E) adalah suseptibilitas listrik dari bahan (besaran skalar).
Perpindahan listrik menjadi:
( )
(
)
( )
( )
E
E
E
E
P
E
D
0
0
0
χ
+
ε
=
ε
χ
+
ε
=
+
ε
=
r
r
r
r
Permitivitas bahan

Walaupun
χ (E) dan ε (E) ditulis bergantung pada medan listrik, namun seringkali
ditemukan bahwa
χ dan ε tidak bergantung pada medan listrik (bahan linier). Pada
intensitas E yang besar, besaran tersebut bergantung pada medan listrik atau
intensitas (bahan listrik/optik nonlinier).
E
D
E
P
r
r
r
r
ε
=
χ
=
Jadi perilaku listrik dari suatu bahan dicirikan oleh suseptibilitas dan permitivitas
listrik.
Suatu konstanta dielektrik [tak berdimensi], didefinisikan sebagai:
0
0
1
K
ε
χ
+
=
ε
ε
=
Jika medan listrik dalam bahan dielektrik sangat kuat, maka elektron-elektron
akan tertarik keluar dari molekul sehingga bahan menjadi konduktor. Medan listrik
maksimum yang tanpa mengakibatkan keluarnya elektron dari molekul disebut
kekuatan dielktrik, E
max
[V/m]

3 x 10
6
1,00059
Udara (1 atm)
80,1
Air murni (destilasi 20
0
C)
1,000985
CO
2
(1 atm)
1,0548
Udara (100 atm)
87,8
Air murni (destilasi 0
0
C)
2,3
Benzen (0
0
C)
4,0
Sulfur
28,4
Alkohol, etil (0
0
C)
2,5 – 8.0
Kayu
6,1
NaCl
4,3
Kuarsa (silika, SiO
2
)
18 x 10
6
2,3
Polietilen
19 x 10
6
3,5
Nilon
9 x 10
6
5 - 10
Gelas
6 x 10
6
4,5
Alumunium oksida
Kekuatan dielektrik, E
max
Konstanta
dielektrik, K
Bahan

F. MUATAN TITIK DALAM FLUIDA DIELEKTRIK
Pandang suatu muatan titik q berada pada titik asal (titik 0) dalam fluida dielektrik
dengan konstanta dielektrik K. 
Berapakah medan listrik E didalam fluida?
r
r
4
q
D
r
4
q
D
q
D
r
4
q
dv
D
2
2
2
V
r
r
r
r
π
=
π
=
=
π
=
•
∇
∫
Hukum Gauss :
Medan listrik dan polarisasi:
r
Kr
4
q
)
1
K
(
E
P
r
Kr
4
q
E
E
K
E
D
3
3
0
0
r
r
r
r
r
r
r
r
π
−
=
χ
=
πε
=
ε
=
ε
=
Tampak bahwa medan listrik didalam bahan
dielektrik lebih kecil dibandingkan dalam
vakum, karena K > 1.

Mengapa dielektrik memperlemah medan listrik ???
Medan listrik berasal dari muatan-muatan baik eksternal maupun muatan
terpolarisasi.
Muatan ekspernal berasal dari muatan titik q.
Muatan terpolarisasi berasal dari kontribusi :
A. rapat muatan volume:
B. rapat muatan pada permukaan dielektrik yang bersinggungan dengan muatan
titik q:
P
p
r
r
•
∇
−
=
ρ
n
P
p
r
r
•
=
σ
r
Kr
4
q
)
1
K
(
E
P
3
r
r
r
π
−
=
χ
=
Dari polarisasi:
Maka:
(
)
(
)
0
r
1
K
4
q
1
K
r
r
K
4
q
1
K
P
2
3
=





 ∇
−
π
−
=






∇
π
−
=
•
∇
r
r
r
r
0
p
=
ρ

Muatan titik q adalah sebuah titik secara makroskopik, namun dalam skala
molekul, bisa berukuran besar, katakanlah mempunyai jari-jari b (b bisa
mendekati nol).
Muatan polarisasi total di permukaan:
( )
(
)
K
q
1
K
n
P
b
4
lim
Q
b
r
2
0
b
p
−
−
=
•
π
=
=
→
r
r
Maka muatan total di dalam fluida dielektrik :
q
K
1
q
Q
p
=
+
+q
S
+    -
+   
 -
+   
 -
+    -
+   
 -
+    -
+    -
+  
  -
+    -
+    -
+  
  -
+    -
+ 
   -
+ 
   
-
+ 
   
-
+ 
   
-
+ 
   -
+    -
+   
 -
+ 
   -
+ 
   
-
+   
 -
+    
-
+   
 -
Skematik orientasi molekul-molekul
terpolarisasi dalam bahan dielektrik
mengelilingi muatan titik q.
E
r

G. SYARAT-SYARAT BATAS PADA VEKTOR MEDAN
Pandang dua meda 1 dan 2 (lihat gambar). Dengan asumsi bahwa terdapat
rapat muatan permukaan
σ yang berbeda dari satu titik dengan titik yang lain 
pada batas dua media.
S
1
D
r
2
D
r
2
nr
1
2
Kita buat suatu permukaan tertutup S yang melewati batas kedua medium. 
Muatan yang dilingkupi permukaan S :
(
)
volume
2
1
S
2
1
×
ρ
+
ρ
+
∆
σ
Karena volume bisa kecil, maka muatan
menjadi
σ ∆S. Hukum Gauss:
(
)
σ
=
•
−
∆
σ
=
∆
•
+
∆
•
2
1
2
1
1
2
2
n
D
D
S
S
n
D
S
n
D
r
r
r
r
r
r
r
Karena n
2 
normal juga terhadap batas
(interface), maka:
1
nr
2
1
n
n
r
r
−
=
σ
=
−
n
1
n
2
D
D

σ
=
−
n
1
n
2
D
D
Terjadi diskontinu komponen normal dari D (diskontinuitas D diberikan oleh rapat
muatan permukaan dari muatan eksternal di interface.
Jika tak ada muatan diantara batas dua media, maka komponen normal D
bersifat kontinu.
Bagaimana dengan medan listrik di batas tersebut ??
1
E
r
2
E
r
1
2
A
D
B
C
(
)
(
)
t
1
t
2
1
2
1
2
C
E
E
0
E
E
0
E
E
)
kecil
(
0
BC
AD
CD
AB
0
d
E
E
=
=
∆
•
−
=
∆
−
•
+
∆
•
≈
=
∆
=
=
=
•
=
×
∇
∫
l
r
r
l
r
l
r
l
l
r
r
r
r
Komponen tangensial medan listrik
bersifat kontinu di batas dua medium.

Jika medium 1 adalah bahan konduktor, maka
χ = ∞ dan ε = ∞, sehingga E
1
= 0:
σ
=
=
n
2
t
2
D
0
E
dimana
σ adalah rapat muatan permukaan total pada konduktor.
H. SYARAT-SYARAT BATAS YANG MELIBATKAN 
DIELEKTRIK-DIELEKTRIK
ρ
=
•
∇ D
r
r
Jika bahan-bahan dielektrik merupakan bahan linier, isotropik dan homogen, maka:
ρ
ε
−
=
φ
∇
ε
ρ
=
•
∇
ε
=
1
E
E
D
2
r
r
r
r
Persamaan Poisson, namum
ε
0
diganti dengan
ε.

Dalam kasus kebanyakan, dielektrik tidak mengandung muatan yang terdistribusi
sehingga
ρ = 0 di dalam bahan dielektrik :
0
2
=
φ
∇
Persamaan Laplace dalam
bahan dielektrik
Contoh soal:
1. Suatu bola dielektrik dengan jari-jari a diletakkan dalam medan listrik yang 
semula seragam E
0
yang sejajar dengan sumbu-z. Berapakah medan listrik
di setiap titik akibat kehadiran bola dielektrik? (Asumsikan bahan dielektrik
adalah linier, isotropik dan homogen)

I. METODA BAYANGAN YANG MELIBATKAN DIELEKTRIK
Dalam metoda bayangan yang sebelumnya, potensial di suatu titik dihasilkan oleh
muatan titik dan muatan bayangan yang lokasinya berada di dalam bahan
konduktor. 
Dalam kasus yang melibatkan dua atau lebih bahan dielektrik, muatan bayangan
dapat berada di dalam salah satu bahan dielektrik dan syarat batas pada masing-
masing interface dielektrik-dielektrik harus dipenuhi.
Pandang dua media dielektrik dengan permitivitas
ε
1
dan
ε
2
dipisahkan oleh suatu
bidang interface. Tidak ada muatan eksternal pada interface. Suatu muatan titik
diletakkan dalam dielektrik
ε
1
pada posisi sejauh d dari interface. Berpakah medan
listrik di medium dielektrik 1 dan 2 ???
1
2
q
d

Solusi:
Asumsikan bahwa interface berada pada bidang xy, dan q berada pada titik x = -d.
q
q’
sumbu-x
0
x
=
d
d
P
r
'
r
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
z
y
d
x
r
z
y
d
x
r
+
+
−
=
+
+
+
=
Potensial dalam medium 1:



 +
πε
=
φ
'
r
'
q
r
q
4
1
1
1
muatan bayangan q’ berada di medium 2 pada posisi (x,y,z) = (d,0,0)

Potensial dalam medium 2, muatan bayangan harus berada di medium 1 (juga
muatan asala q dimana keduanya berada pada poisisi (-d,0,0). Jika muatan total 
didefinisikan sebagai q”, maka potensial di medium 2 adalah:
r
4
"
q
2
2
πε
=
φ
Besarnya q’ dan q” diperoleh pada syarat batas, bahwa untuk interface yang 
tidak ada rapat muatan, komponen normal dari D bersifat kontinu di interface:
(
)
[
] [
]
)
1
......(
..........
z
y
d
d
"
q
z
y
d
d
'
q
q
x
x
D
D
2
/
3
2
2
2
2
/
3
2
2
2
0
x
2
2
0
x
1
1
n
2
n
1
+
+
=
+
+
−
∂
φ
∂
ε
−
=
∂
φ
∂
ε
−
=
=
=

Sekarang kita hitung medan listrik pada interface. Karena komponen tangensial
medan listrik bersifat kontinu, maka:
(
)
[
]
[
]
)
2
......(
..........
z
y
d
y
"
q
z
y
d
y
'
q
q
y
y
E
E
2
/
3
2
2
2
2
2
/
3
2
2
2
1
0
x
2
0
x
1
t
2
t
1
+
+
ε
=
+
+
ε
−
∂
φ
∂
−
=
∂
φ
∂
−
=
=
=
Dari kombinasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
q
2
"
q
;
q
'
q
2
1
2
2
1
2
1
ε
+
ε
ε
=
ε
+
ε
ε
−
ε
=
Karena itu persamaan Laplace dipenuhi di kedua media dan juga syarat batas
dipenuhi, sehingga solusinya adalah unik.

TEORI MIKROSKOPIK DARI 
DIELEKTRIK

Dalam pembahasan sebelumnya, polarisasi dielektrik dibahas secara makroskopik. 
Medan listrik dihitung dengan mempertimbangkan distribusi muatan eksternal (luar). 
Dalam Bab ini akan dibahas bagaimana medan listrik bertanggungjawab pada
polarisasi molekul (mikroskopik). Dengan menggunakan model molekul yang 
sederhana, perilaku linier dari berbagai kelas bahan dielektrik dapat dipahami.
A. MEDAN MOLEKUL DALAM DIELEKTRIK
Medan listrik yang mengakibatkan polarisasi dari sebuah molekul dielektrik disebut
medan molekul E
m
. 
Jadi medan molekul adalah medan listrik pada posisi molekul dalam dielektrik dan
dihasilkan oleh seluruh sumber-sumber luar dan molekul-molekul yang 
terpolarisasi dalam bahan dielektrik, kecuali oleh satu molekul pada titik yang 
ditinjau.
Sehingga jelas bahwa E
m
tidak sama dengan medan listrik makroskopik.

Medan molekul dihitung dengan cara sebagai berikut:
a) Ambil sejumlah kecil dielektrik sehingga meninggalkan suatu rongga yang 
mengelilingi suatu titik, dimana medan molekul akan dihitung. Dielektrik
sebelah kiri dihitung sebagai kontinu.
b) Letakkan kembali dielektrik ke dalam rongga (molekul per molekul). Molekul-
molekul ini dianggap tidak kontinu namun sebagai dipol individu.
Prosedur ini berlaku, jika hasilnya tidak bergantung pada ukuran rongga.
Pandang
suatu
sampel
dielektrik
tipis
yang dipolarisasi
dengan
meletakkannya dalam medan listrik seragam diantara dua pelat sejajar yang 
muatannya berlawanan.
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +

Jika diasumsikan bahwa polarisasi itu seragam secara makroskopik
dan P sejajar dengan medan, maka dielektrik di luar rongga diganti dengan
sistem polarisasi muatan-muatan (lihat gambar di bawah).
(
)
0
P
=
•
∇
r
r
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
- +
- +
+
+
+
+
−−
−
−
−
Medan listrik di titik pusat rongga:
'
E
E
E
E
E
s
d
x
m
r
r
r
r
r
+
+
+
=
x
E
r
= medan listrik primer (dihasilkan pelat sejajar yang bermuatan)
d
E
r
= medan listrik yang tak-terpolarisasi akibat perubahan polarisasi muatan di
luar permukaan dielektrik.
s
E
r
= medan listrik akibat perubahan polarisasi pada permukaan rongga S
'
E
r
= medan listrik akibat seluruh dipol di dalam rongga S

Jika bidang muka pelat lebih besar dibandingkan dengan tebal pelat, maka:
0
x
E
ε
σ
=
dimana
σ adalah rapat muatan permukaan
Medan tak-terpolarisasi dihasilkan oleh dua pelat sejajar dengan rapat muatan
σ
p
. 
Karena
σ
p
= P
n
= 
± P :
P
1
E
0
d
r
r
ε
−
=
Karena komponen normal dari perpindahan listrik D adalah kontinu di batas
antara vakum-dielektrik, dan D = 
ε
0
E
x
di dalam vakum di luar pelat dielektrik, 
maka medan listrik dalam dielektrik secara makroskopik:
'
E
E
E
E
E
E
E
s
m
d
x
r
r
r
r
r
r
r
+
+
=
+
=
Menggambarkan hubungan
antara medan molekul dan
medan listrik makroskopik

Medan E
s
timbul dari rapat muatan polarisasi, 
σ
p
= P
n
pada permukaan S. 
Dengan menggunakan koordinat bola dan mengambil arah kutub (polar) 
serarah P, maka:
(
)
da
r
r
4
cos
P
E
d
3
0
s
r
r
πε
θ
−
=