Логический элемент

1.16 Основные функции АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ. Законы алгебры логики.

1.16 ОСНОВНІ ФУНКЦІЇ АЛГЕБРИ ЛОГІКИ ТА ЛОГІЧНІ ЕЛЕМЕНТИ ДЛЯ ЇХ РЕАЛІЗАЦІЇ. Закони АЛГЕБРИ ЛОГІКИ.
Алгебра логики (АЛ) является основным инструментом синтеза и анализа дискретных автоматов всех уровней. Алгебра логики называют также Булевой алгеброй. АЛ базируется на трёх функциях, определяющих три основные логические операции.
1. Функция отрицания (НЕ). f1 =`X читается, как f1 есть (эквивалентна) НЕ Х. Элемент, реализующий функцию НЕ, называется элементом НЕ (инвертором).

Элемент НЕ имеет два состояния.

2. Функция логического умножения (конъюнкции). Функция логического умножения записывается в виде f2=X1·X2. Символы логического умножения &, L, , ?. Функция конъюнкции читается так: f2 есть (эквивалентна) Х1 и Х2, поскольку функция истинна тогда, когда истинны 1-й и 2-й аргументы (переменные). Конъюнкцию называют функцией И, элемент, реализующий эту функцию, элементом И.

В общем случае функцию логического умножения от n переменных записывают так:

Количество переменных (аргументов), участвующих в одной конъюнкции, соответствует количеству входов элемента И.

3. Логическое сложение (дизъюнкция). Функция логического сложения записывается в виде f3=X1 + X2, и читается так: f3 есть Х1 или Х2, поскольку функция истинна, когда истинна одна или другая переменная (хотя бы одна). Поэтому функцию дизъюнкции часто называют функцией ИЛИ. Символы логического сложения +,V.

В общем случае функция ИЛИ записывается:

Используя операции (функции) И, ИЛИ, НЕ можно описать поведение любого комбинационного устройства, задав сколь угодно сложное булево выражение. Любое булево выражение состоит из булевых констант и переменных, связанных операциями И, ИЛИ, НЕ.
Пример булева выражения:
.
Основные законы алгебры логики. Основные законы Алгебра логики позволяют проводить эквивалентные преобразования функций, записанных с помощью операций И, ИЛИ, НЕ, приводить их к удобному для дальнейшего использования виду и упрощать запись.

ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ Таблица 1.1

N	а	б	Примечание
1 2 3 4 5	=1 X+0=X X+1=1 X+X=X X+ =1	=0 X*1=X X*0=0 X*X=X X* =0	Аксиомы (тождества)
6	=X		Закон двойного отрицания
7	X+Y=Y+X	X*Y=Y*X	Закон коммутативности
8	X+X*Y=X	X =X	Закон поглощения
9	= *		Правило де-Моргана (закон дуальности)
10	+Z=X+Y+Z		Закон ассоциативности
11	X+Y*Z=		Закон дистрибутивности

Булевой алгебре свойственен принцип двойственности, что наглядно иллюстрирован в табл. 1.1. Как следует из табл. 1.1, только закон двойного отрицания не подчиняется этому принципу.

Используя законы алгебры логики, можно упростить булевы выражения, в частности, правило склеивания позволяет упростить выражение типа
.
Действительно, используя законы 2, 5 и 11 можно записать исходное выражение в виде Х2(Х1 +`Х1 ) =Х2. Так как логическая операция Х1 +`Х1 = 1 (см. з-н 5), а Х2?1 = Х2 (см. з-н 2б), полученное выражение истинно.
Элементарные функции алгебры-логики. Среди всех функций алгебры логики особое место занимают функции одной и двух переменных, называемые элементарными. В качестве логических операций над переменными, эти функции позволяют реализовать различные функции от любого числа переменных.
Общее количество функций АЛ от m переменных R=2k, где k=2m. Рассмотрим элементарные функции от двух переменных

Переменные и их состояния					Обозначение функции	Назначение Функции
X1 X2	0 0	0 1	1 0	1 1
f0	0	0	0	0	f0=0	Генератор 0
f1	0	0	0	1	f1=X1·X2	«И»
f2	0	0	1	0	f2=X1·
f3	0	0	1	1	f3=X1
f4	0	1	0	0	f4= ·X2
f5	0	1	0	1	f5=X2
f6	0	1	1	0	f6=X1 X2	Сумматор по модулю два
f7	0	1	1	1	f7=X1+X2	«ИЛИ»
f8	1	0	0	0	f8=	«ИЛИ-НЕ»
f9	1	0	0	1	f9=X1~X2	Функция равнозначности
f10	1	0	1	0	f10=	«НЕ» Х2
f11	1	0	1	1	f11=X1+
f12	1	1	0	0	f12=	«НЕ» Х1
f13	1	1	0	1	f13= +X2
14	1	1	1	0	f14=	«И-НЕ»
f15	1	1	1	1	f15=1	Генератор 1

1.17 СИНТЕЗ Логическая схема в базисе (И, ИЛИ, НЕ), И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

1.17 СИНТЕЗ ЛОГІЧНИХ СХЕМ В БАЗИСАХ (І, АБО, НІ), І-НІ, АБО-НІ.
В задачу синтеза комбинационных устройств входит построение схемы устройства по заданным условиям его работы и при заданном базисе элементов. Задание комбинационного устройства сводится к заданию тех функций, которые оно должно реализовать. Число функций определяется числом выходов комбинационного устройства.
Процесс синтеза комбинационных устройств состоит из 2-х этапов.
1. Абстрактный синтез
Абстрактный синтез включает:

• 
  формирование задачи, словесное описание функций устройства, определение типа устройства;
  
• 
  описание устройства на формализованных языках:таблица истинности,карта Карно,аналитическое выражение и т.д.;
  
• 
  минимизация булевых функций;
  
• 
  построение логической схемы устройства.
  

2. Схемный синтез

• 
  переход в требуемый базис;
  
• 
  построение принципиальной схемы;
  
• 
  разработка монтажной схемы;
  
• 
  изготовление устройства и его испытания.
  

В результате испытаний осуществляются корректировка схемы и подготовка технической документации.
Полная система логических функций. Понятие о базисе
Функционально полная система логических функций представляет собой набор логических функций, с помощью которых можно записать любую, сколь угодно сложную функцию. В этом случае говорят, что этот набор образует базис. Функционально полными являются 3 базиса:
1) "И-ИЛИ-НЕ" (базис конъюнкции, дизъюнкции, инверсии)
2) "И-НЕ" (базис Шеффера)
3) "ИЛИ-НЕ" (базис Пирса или функция Вебба).

Элементы, реализующие операцию "И-НЕ", “ИЛИ-НЕ” и “Исключающее ИЛИ” на принципиальных и структурных схемах изображаются так:
Примеры реализации логических операций в базисах “И-НЕ” и “ИЛИ-НЕ”.

Реализация операции “НЕ”:

Реализация операции “И”:

Реализация операции “ИЛИ”:

Пример реализации комбинационного устройства в базисе "И-НЕ". Пусть задана функция, реализуемая комбинационным устройством, в аналитической форме
.
Используя закон де Моргана и с учетом закона двойного инвертирования, запишем эту функцию в виде
.
Как следует из полученного аналитического выражения, логическое устройство должно содержать три двухвходовых и один трехвходовой элемент И-НЕ. Функциональная схема комбинационного устройства, построенная в базисе И-НЕ, показана на рис.