Логика булевых функций

ВВЕДЕНИЕ

Логика - одна из самых древних наук. Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого ученого Аристотеля ( 384 – 322 г. до н. э.) и стала впоследствии называться формальной или Аристотелевой логикой.

С момента своего возникновения и в течение многих веков логика рассматривалась как часть философии. Математическая логика возникла на стыке двух наук: традиционной или философской логики и математики.
Идея построения логики на математической основе была впервые выдвинута Лейбницем (1646 – 1716). Окончательно как раздел математики математическая логика сформировалась в работах Д. Буля (1815 – 1864), Г. Фреге (1848 – 1925), Б. Рассела (1872 – 1970), Д. Гильберта (1862 – 1943).
Математическая логика используется при решении трех групп задач.
Во-первых, это формулировка логических рассуждений с помощью специальных символов и изучение этих рассуждений с использованием математического аппарата.
Во-вторых, это построение формальных теорий (исчислений) для различных математических объектов на основе аксиоматического метода.
В-третьих, это применение аппарата математической логики к различным областям практической деятельности. В настоящее время математическая логика с успехом применяется в радиотехнике, лингвистике, теории автоматического управления, программировании, системах искусственного интеллекта.

ТЕМА 1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

1.1. Определение высказывания


Определение 1.1. Высказыванием называется повествовательное языковое предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.
Пример 1.1.
Следующие утверждения являются высказываниями:
а) Москву основал Юрий Долгорукий.
б) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
в) 2 2 = 5.
Высказывания а) и б) истинны, а высказывание с) ложно.
Пример 1.2.
Следующие утверждения не являются высказываниями:
а) a + b = 2.
б) Математика – интересный предмет.
В логике высказываний нас интересует не суть высказывания, а его истинность или ложность. Мы говорим, что существуют два истинностных значения: истина и ложь (И и Л). Двухэлементное множество {И, Л} есть множество истинностных значений. Высказывания будем обозначать большими буквами: A, B, C, X, Y,.. Выражение А = И означает, что высказывание А истинно, а X = Л означает, что высказывание X ложно.