Лоран қатори

PEDAGOGIK ANNOTATSIYaSI

O’quv predmeti: Matematik analiz

Mavzu: Kompleks sonlar to’plami. Kompleks sonlar maydoni. Kom­pleks sonlarning geometrik talqini.

Keysning asosiy maqsadi: O’quvchilarga kompleks sonlar to’plami, kompleks sonlar maydoni, kom­pleks sonlarning geometrik talqini tushunchalarini o’rgatish

O’quv faoliyatidan kutiladigan natijalar:

• 
  Kompleks sonlar to’plamlarni bilishadi.
  
• 
  Kompleks sonlar maydoni va unda bajariladigan amallarni bilishadi.
  
• 
  Kom­pleks sonlarning geometrik talqini bilishadi.
  

Ushbu keysni muvaffaqiyatli amalga oshirish uchun oldindan talabalar quyidagi bilim va ko’nikmalarga ega bo’lmoqlari zarur:

Talaba bilishi kerak:

- maktab algebra kursida o’rganilgan barcha bilimlarga ega bo’lishi kerak.

Talaba amalga oshirishi kerak:

- mavzuni mustaqil o’rganadi; muammoning mohiyatini aniqlashtiradi; g’oyalarni ilgari suradi; ma’lumotlarni tanqidiy nuqtai nazardan ko’rib chiqib, mustaqil qaror qabul qilishni o’rganadi; o’z nuqtai nazariga ega bo’lib, mantiqiy xulosa chiqaradi; o’quv ma’lumotlar bilan mustaqil ishlaydi; ma’lumotlarni taqqoslaydi, tahlil qiladi va umumlashtiradi;

Talaba ega bo’lmog’i kerak:

• 
  kommunikativ ko’nikmalarga; taqdimot ko’nikmalariga; hamkorlikdagi ishlar ko’nikmalariga; muammoli holatlar tahlil qilish ko’nikmalariga.
  

LORAN QATORI

Musbat hamda manfiy darajali hadlardan tuzilgan quyidagi umumiy qator bilan tanishaylik:


yoki bu qatorni

ko’rinishda yozish mumkin.

Aslida bu qator ikki qismdan iboratdir:

bu esa Teylor qatori bo’lib, (4) ning to’g’ri qismi va

manfiy darajali qator bo’lib, (4) ning bosh qismi deb ataladi.

Ma’lumki, Teylor qatorining yaqinlashish radiusi bo’lib,



Bu qator doira ichida yaqinlashuvchi bo’lib, tashqarisida uzoqlashadi. (6) qatorning yaqinlashish radiusi (2) dan iborat bo’lib, doira tashqarisida yaqinlashadi, doira ichida uzoqlashadi (5) va (6) qatorlarning yaqinlashish sohasi bo’lgandagina umumiy nuqtalarga ega bo’ladi.

Demak, (4) qatorning yaqinlashish sohasi

(7)

tengsizlikni qanoatlantiruvchi K halqadan iborat bo’lib, uning ichida qator absolyut yaqinlashadi.

O’sha halqaning ichida yorituvchi har qanday sohada u tekis yaqinlashuvchi ekani ham shubhasiz. Jumladan, shu halqa ichida to’la joylashgan torroq

halqa ichida (4) qator tekis yaqinlashadi . Shu sababli u qator yig’indisi biror analitik funksiyani ifoda qiladi. Qulaylik uchun deb belgilaydilar, u holda (4) qator

yoki qisqaroq

formaga ega bo’ladi. Mana shu qatorni matematik Loran¹ chuqur tekshirgani uchun Loran qatori deyilai.

Mabodo bo’lsa, bu qatordan Teylor qatori kelib chiqadi. Aksincha, agar bo’lsa, u holda faqat manfiy darajali hadlardan iborat qator hosil bo’ladi. Demak, Teylor qatori ham, manfiy darajali qator ham Loran qatorining xususiy hollari ekan.

Agar bo’lsa, qator bilan ifodalangan C aylanada ham tekis yaqinlashadi. Bu qatorni ga ko’paytirilsa ham tekis yaqinlashaveradi, bunda k – har qanday butun son. Shu sababli u qatorni C bo’ylab integrallash qonuniydir:

Ўнг томондаги интеграллар

кўринишга эга бўлиб, IV бобнинг 5-§ iga asosan, ular faqat bo’lgandagina noldan farqli bo’lib, quyidagi qiymatga ega:



Ravshanki, buning uchun bo’lishi kerak. Demak, (8) dan:

Bu esa loran qatoridagi koeffisiyentlarini qatorini (z) yig‘indisi orqali ifoda qilib beradigan formuladir. Bundan shunday xulosa kelib chiqadi: agar mos ravishda bizga K₁ va K₂ xalqalarida yaqinlashuvchi 2 ta

Loran qatori berilgan bo‘lib , u xalqalar umumiy aylanaga ega bo‘lsa va shu aylananing

barcha nuxtalarida o’sha qatorlarning yig’indilari bir-biriga teng , ya’ni =

bo’lsa, u holda va funksiyalari uchun tuzilgan (9) ko’rinishidagi barcha integrallar o’zaro teng bo’ladi. Shu sababli a_n = b_n ,yani ikkala aynan bir xil bo’lib qoladi.

Xususiy xolda , agar K₁ba K₂ xalqalar bir xil va u xalqadagi xamma nuqtalarda

= bo’lsa , bularga mos Loran qatorlari xam aynan bir xil bo’ladi . bu esa

Loran qatorlariga yoyishning yagonalik xossasidir.

1-misol …. +

Qatorining yaqillashish sohasi topilsin .

I₁=1+

Agar |q| =<1,yani |z|< 2 bo’lsa ,



agar<1 ,yani |z|>1 bo’lsa , berilgan qator

1<|z|<2

xalqa ichida absoliyut va tekis yaqinlashuvchi bo’lib , uning yeg’indisi :