Лоран қатори

3- Funksiyani loran qatoriga yoyish

Oldingi paragirifda biz tayorgina Loran qatori bilan tanishdik . Endi esa berilgan funksiyalarni Loran qatoriga yoyishnio’rganamiz .

funksiya doiraviy K xalqa

r <|z-a|

da analitik bo’lsin , deb faraz qilaylik . Shu xalqa ichidagi ixtioriy bir

z nuqtani K¹ xalqa

r¹ <|z - a|1

ichiga olaylik . Bu xolda r 111xalqa

K xalqa ichiga to’la joylashgandir .

Endi , z nuqtani markaz qilib shunday bir aylana || =p chizayliki

, uning barcha nuqtalari K¹xalqa ichidan tashqari chiqmasin .

U xolda C_R¹:| -a| =R¹,C_r ,: | -a|=r¹ va aylanalar bilan chegaralangan ko’p bog’lamli G soxada (90 - chizma)


Funksiya analitik bo’ladi . Qoshi teoremasiga muvofiq , G sohaning tashqi

konturi bo’ylab olingan integral ichki konturlar bo’ylab olingan integrallar

yeg’indisiga tengdir :

So’ngi xad qoshi integralidan iborat bo’lgani uchun f(z) ga teng. Shuning uchun tenglikni bunday

yozish mumkin. Maqsad , f(z) funksiyani z – a ga nisbatan qatorga yoyishdir .

Uning uchun dastlab (10) dagi birinchi integralni tekshirib , qatorga yozamiz.

O’sha integral ishorasi ostidagi kasrni cheksiz geometrik progressiya

ning yeg’indisi ko’rinishiga keltirib olamiz :

bundagi

,

Chunki nuqta C_R aylana ustida , z esa aylana ichidadir .Endi (11)

qator umumiy xadining modulini ko’raylik :

O’ng tomongdagi xadlardan tuzilgan ushbu

musbat xadli qator yaqinlashuvchi bo’lgani uchun (11) qator

C_R aylanada tekis yaqinlashadi . Shu qatorni ga

ko'paytirishdan hosil bo’lgan qator ham o’sha aylanada tekis yaqinlashadi , chunki haligi aylanada ning moduli chegaralangandir . Demak ,

Tekis yaqinlashuvchi manashu qatorning ikki tomonidan C_R aylana

bo'ylab integral olishga haqlimiz :

Bunda:

Shunday qilib (10) tenglikning o’ng tomonidagi birinchi integralni

z-a ning musbat darajalari bo’yicha qatorga yoydik .

Endi (10) tenglikning ung tomonidagi ikkinchi integralni xam

xuddi shu usulda qatorga yoyib chiqamiz .O’sha integral ishorasi

ostidagi kasirni quyidagicha yozib olamiz :

bunda

chunki nuqta C_r aylanada va z esa uning tashqarisidadir (11) qator

xam C_r aylanada tekis yaqinlashuvchi bo’lgani uchun ikki tomon ga ko’paytirib C_r bo’ylab integral olish qonuniydir , demak ,

bunda

….integrallarning (12) va (12) lardagi kiymatlarni (10) ga

qo'yilsa ,

f(z) funksiyani Loran qatori yoygan bo’lamiz . So’nggi tenglikdagi

ikkita yeg’indini bitta qilishga asos shundaki , biz c_n va c_-n koeffisientlariga tegishli formulalarni quydagicha bitta qilib yozdik :

bundagi C xalqa orasida yotuvchi markazi a nuqtaga joylashgan ihtioriy aylanadir . Berilgan f(z) funksianing Loran qatoriga yoyish uchun uning koeffisentlari (14) ga asoslanib topish kifoya .

Lekin (14) ning o’ng tomonidagi integralni xisoblab chiqish ba’zan qiyinchilik tug’diradi . Bunday hollarda misolning o’ziga qarab sun’iy

yo'llardan foydalanish tavsiya qilinadi . Shunday qilib biz quyidagi

teoremani isbot qilishga muvaffaq bo’ldik. Teoremani tariflashdan

oldin Loran qatoriga to’laroq ta’rif berib o’tish maqsadga muvofiqdir.

Ta’rif koeffisentlarini (14) formulalar orqali berilgan (13) qator

K(r<|z-a|xalqadagi f(z) funksiyaning Loran qatori deyiladi .

z-a ga nisbatan musbat darajali xadlaridan tuzilgan (12) qator Loran

qatorining to’g’ri qismi va manfiy darajali xadlaridan tuzilgan (12)

qator uning bosh qismi deyiladi .

Teorema .Agar f(z) funksiya K xalqada bir qiymatli va analitik bo’lsa ,

y funksiyani shu xalqada


Loran qatoriga yoyish mumkun bo’lib , c_n koeffisientlari (14)

formulalar orqali topiladi .Shu bilan birga K ni f(z) ning analitikligini

ko’rsatadigan eng katta xalqa deb tushunamiz . Loran qatorinig to’g’ri qismi butun |z-a|< R doirada va bosh qismi esa |z-a|> r doira tashqarisida yaqinlashadi . K ichidagi xar qanday yopiq r¹ ≤|z-a|≤ R

xalqada Loran qatori tekis yaqinlashadi .

1-misol . funksiya z ning darajalari bo’yicha Loran

qatoriga yoyilsin .

Dastlab berilgan funksiyani eng sodda kasirlar ajratib olamiz :

Bularidan odatdagi uslub bilan A va B larni topib olinadi , u xolda :

Ravshanki , f(z) funksiya z=1 va z=2 nuqtalarda cheksizlikka aylanadi.

Demak quydagi uchta doiraviy xalqada f(z) analitik funksiya bo’ladi.

a) |z|<1, yani z nuqtalar birlik doira ichidan chiqmasligi kerak ;

b) 1<|z|< 2 , yani z nuqtalar mana yu xalqa ichidan chiqmaydi ;

v) |z|>2 , yani z nuqtalar mana shu doira tashqarisida bo’lmog’i kerak.