Лоран қатори
- Funksiyani loran qatoriga yoyish
Download 218 Kb.
|
xolmatov zuxriddin
3- Funksiyani loran qatoriga yoyish
Oldingi paragirifda biz tayorgina Loran qatori bilan tanishdik . Endi esa berilgan funksiyalarni Loran qatoriga yoyishnio’rganamiz . funksiya doiraviy K xalqa r <|z-a| da analitik bo’lsin , deb faraz qilaylik . Shu xalqa ichidagi ixtioriy bir
r1 <|z - a| ichiga olaylik . Bu xolda r K xalqa ichiga to’la joylashgandir . Endi , z nuqtani markaz qilib shunday bir aylana || =p chizayliki , uning barcha nuqtalari K1xalqa ichidan tashqari chiqmasin . U xolda CR1:| -a| =R1,Cr ,: | -a|=r1 va aylanalar bilan chegaralangan ko’p bog’lamli G soxada (90 - chizma) Funksiya analitik bo’ladi . Qoshi teoremasiga muvofiq , G sohaning tashqi konturi bo’ylab olingan integral ichki konturlar bo’ylab olingan integrallar yeg’indisiga tengdir : So’ngi xad qoshi integralidan iborat bo’lgani uchun f(z) ga teng. Shuning uchun tenglikni bunday yozish mumkin. Maqsad , f(z) funksiyani z – a ga nisbatan qatorga yoyishdir . Uning uchun dastlab (10) dagi birinchi integralni tekshirib , qatorga yozamiz. O’sha integral ishorasi ostidagi kasrni cheksiz geometrik progressiya ning yeg’indisi ko’rinishiga keltirib olamiz : bundagi
, Chunki nuqta CR aylana ustida , z esa aylana ichidadir .Endi (11) qator umumiy xadining modulini ko’raylik : O’ng tomongdagi xadlardan tuzilgan ushbu musbat xadli qator yaqinlashuvchi bo’lgani uchun (11) qator CR aylanada tekis yaqinlashadi . Shu qatorni ga ko'paytirishdan hosil bo’lgan qator ham o’sha aylanada tekis yaqinlashadi , chunki haligi aylanada ning moduli chegaralangandir . Demak , Tekis yaqinlashuvchi manashu qatorning ikki tomonidan CR aylana bo'ylab integral olishga haqlimiz : Bunda:
Shunday qilib (10) tenglikning o’ng tomonidagi birinchi integralni z-a ning musbat darajalari bo’yicha qatorga yoydik . Endi (10) tenglikning ung tomonidagi ikkinchi integralni xam xuddi shu usulda qatorga yoyib chiqamiz .O’sha integral ishorasi ostidagi kasirni quyidagicha yozib olamiz : bunda
chunki nuqta Cr aylanada va z esa uning tashqarisidadir (11) qator xam Cr aylanada tekis yaqinlashuvchi bo’lgani uchun ikki tomon ga ko’paytirib Cr bo’ylab integral olish qonuniydir , demak , bunda
….integrallarning (12) va (12) lardagi kiymatlarni (10) ga qo'yilsa , f(z) funksiyani Loran qatori yoygan bo’lamiz . So’nggi tenglikdagi ikkita yeg’indini bitta qilishga asos shundaki , biz cn va c-n koeffisientlariga tegishli formulalarni quydagicha bitta qilib yozdik : bundagi C xalqa orasida yotuvchi markazi a nuqtaga joylashgan ihtioriy aylanadir . Berilgan f(z) funksianing Loran qatoriga yoyish uchun uning koeffisentlari (14) ga asoslanib topish kifoya . Lekin (14) ning o’ng tomonidagi integralni xisoblab chiqish ba’zan qiyinchilik tug’diradi . Bunday hollarda misolning o’ziga qarab sun’iy yo'llardan foydalanish tavsiya qilinadi . Shunday qilib biz quyidagi teoremani isbot qilishga muvaffaq bo’ldik. Teoremani tariflashdan oldin Loran qatoriga to’laroq ta’rif berib o’tish maqsadga muvofiqdir. Ta’rif koeffisentlarini (14) formulalar orqali berilgan (13) qator
qatorining to’g’ri qismi va manfiy darajali xadlaridan tuzilgan (12) qator uning bosh qismi deyiladi . Teorema .Agar f(z) funksiya K xalqada bir qiymatli va analitik bo’lsa , y funksiyani shu xalqada Loran qatoriga yoyish mumkun bo’lib , cn koeffisientlari (14) formulalar orqali topiladi .Shu bilan birga K ni f(z) ning analitikligini ko’rsatadigan eng katta xalqa deb tushunamiz . Loran qatorinig to’g’ri qismi butun |z-a|< R doirada va bosh qismi esa |z-a|> r doira tashqarisida yaqinlashadi . K ichidagi xar qanday yopiq r1 ≤|z-a|≤ R xalqada Loran qatori tekis yaqinlashadi . 1-misol . funksiya z ning darajalari bo’yicha Loran qatoriga yoyilsin . Dastlab berilgan funksiyani eng sodda kasirlar ajratib olamiz : Bularidan odatdagi uslub bilan A va B larni topib olinadi , u xolda : Ravshanki , f(z) funksiya z=1 va z=2 nuqtalarda cheksizlikka aylanadi. Demak quydagi uchta doiraviy xalqada f(z) analitik funksiya bo’ladi. a) |z|<1, yani z nuqtalar birlik doira ichidan chiqmasligi kerak ; b) 1<|z|< 2 , yani z nuqtalar mana yu xalqa ichidan chiqmaydi ; v) |z|>2 , yani z nuqtalar mana shu doira tashqarisida bo’lmog’i kerak. Download 218 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling