M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar



















−1, x ∈ [−1, −1/n] ,

n x, x ∈ (−1/n, 1/n) ,

1,

x ∈ [1/n, 1]

21.1-chizma

ketma-ketligini qaraymiz. Bu ketma-ketlik C

2

[−1, 1]

fazoda fundamentaldir,

chunki barcha x ∈ [−1, 1] lar uchun |f

n

(x) − f

m

(x) | ≤ 1

ekanligini hisobga

olsak va n < m desak,

ρ

2

(f

n

, f

m

) =

Z

1

−1

(f

n

(x) − f

m

(x))

2

dx ≤

Z

1/n

−1/n

1dx =

2

n

→ 0, n → ∞.

Biroq {f

n

}

ketma-ketlik C

2

[−1, 1]

fazodagi birorta ham funksiyaga yaqin-

lashmaydi. Haqiqatan ham, f ∈ C

2

[−1, 1]

ixtiyoriy funksiya va

ϕ(x) =







−1, agar x ∈ [−1, 0),

1, agar x ∈ [0, 1]

nol nuqtada uzilishga ega funksiya bo`lsin. Ko`rinib turibdiki,

f

n

(x) − ϕ (x) =



















0, x ∈ [−1, −1/n]

S

[1/n, 1] ,

n x + 1, x ∈ (−1/n, 0) ,

nx − 1,

x ∈ [0, 1/n).

197

Bundan tashqari barcha x ∈ [−1, 1] lar uchun |f

n

(x) − ϕ (x) | ≤ 1

. Shuning

uchun

1

Z

−1

(f

n

(x) − ϕ (x))

2

dx =

1/n

Z

−1/n

(f

n

(x) − ϕ (x))

2

dx ≤

2

n

→ 0, n → ∞.

(21.5)

Agar Minkovskiy tengsizligidan foydalansak ((19.22) ga qarang),

·Z

1

−1

(f (x) − ϕ (x))

2

dx

¸

1

2

≤

≤

·Z

1

−1

(f (x) − f

n

(x))

2

dx

¸

1

2

+

·Z

1

−1

(f

n

(x) − ϕ (x))

2

dx

¸

1

2

(21.6)

tengsizlikka kelamiz. Endi quyidagi

Z

1

−1

(f (x) − ϕ (x))

2

dx > 0

(21.7)

tengsizlikni isbotlaymiz. Uning isbotini ikki holga ajratamiz.

1) Faraz qilaylik, f(0) ≤ 0 bo`lsin, u holda f ning uzluksizligiga ko`ra

shunday δ

1

> 0

mavjudki, barcha x ∈ [0, δ

1

]

lar uchun f(x) < 1/2 bo`ladi.

Bundan

|f (x) − ϕ (x) |

2

≥ 1/4,

x ∈ [0, δ

1

]

(21.8)

tengsizlik kelib chiqadi. (21.8) tengsizlikni [0, δ

1

]

kesma bo`yicha integrallab,

Z

1

−1

(f (x) − ϕ (x))

2

dx ≥

Z

δ

1

0

(f (x) − ϕ (x))

2

dx >

δ

1

4

tengsizlikka kelamiz.

2) Agar biz f(0) > 0 deb faraz qilsak, u holda shunday δ

2

> 0

mavjudki,

barcha x ∈ [−δ

2

, 0)

lar uchun |f (x) − ϕ (x) | > 1/2 bo`ladi. Bundan

Z

1

−1

(f (x) − ϕ (x))

2

dx ≥

Z

0

−δ

2

(f (x) − ϕ (x))

2

dx >

δ

2

4

.

Demak, (21.7) tengsizlik isbot bo`ldi. (21.6) tengsizlikdan

·Z

1

−1

(f (x) − f

n

(x))

2

dx

¸

1

2

≥

198

≥

·Z

1

−1

(f (x) − ϕ (x))

2

dx

¸

1

2

−

·Z

1

−1

(f

n

(x) − ϕ (x))

2

dx

¸

(21.9)

ni olamiz. (21.5), (21.7) va (21.9) lardan

ρ (f, f

n

) =

·Z

1

−1

(f (x) − f

n

(x))

2

dx

¸

1

2

ning nolga yaqinlasha olmasligi kelib chiqadi, ya'ni { f

n

}

ketma-ketlik C

2

[−1, 1]

dagi birorta ham funksiyaga yaqinlasha olmaydi.

∆

21.9. `

p

, p ≥ 1

va m, c, c

0

fazolar to`la metrik fazolardir.

21.1. Ichma-ich joylashgan sharlar haqidagi teorema

Ma'lumki, analizda ichma-ich joylashgan kesmalar haqidagi lemma keng

qo`llaniladi. Metrik fazolar nazariyasida esa ichma-ich joylashgan yopiq shar-

lar haqidagi teorema deb ataluvchi quyidagi teorema shunga o`xshash muhim

ahamiyatga ega.

21.1-teorema. X metrik fazo to`la bo`lishi uchun undagi ixtiyoriy ichma-

ich joylashgan va radiuslari nolga intiluvchi yopiq sharlar ketma-ketligining

kesishmasi bo`sh bo`lmasligi zarur va yetarlidir.

Isbot. Zaruriyligi. X to`la metrik fazo bo`lsin va B

1

, B

2

, B

3

, . . .

- ichma-

ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi bo`lib, ularning radiuslari ketma-

ketligi nolga intilsin. B

n

sharning markazi x

n

nuqtada va radiusi r

n

bo`lsin.

Barcha m > n lar uchun ρ (x

n

, x

m

) < r

n

va n → ∞ da r

n

→ 0

bo`lgani

uchun, sharlarning markazlari ketma-ketligi {x

n

}

fundamentaldir. X to`la

metrik fazo bo`lgani uchun lim

n→∞

x

n

mavjud. Aytaylik,

lim

n→∞

x

n

= x

bo`lsin. Har bir n da barcha m > n lar uchun x

m

∈ B

n

. Shunday ekan, har

bir n da x nuqta B

n

shar uchun urinish nuqtasi bo`ladi. Barcha n larda B

n

199

yopiq bo`lgani uchun x ∈ B

n

. U holda

x ∈

∞

\

n=1

B

n

=⇒

∞

\

n=1

B

n

6= ∅.

Yetarliligi. X da ixtiyoriy {x

n

}

fundamental ketma-ketlik berilgan bo`lsin. U

holda bu ketma-ketlik uchun shunday n

1

nomer topiladiki, barcha n > n

1

lar-

da ρ (x

n

, x

n

1

) <

1

2

tengsizlik o`rinli bo`ladi. Markazi x

n

1

nuqtada va radiusi 1

ga teng B

1

yopiq sharni olamiz. Keyin n

2

> n

1

nomerni shunday tanlaymiz-

ki, barcha n > n

2

larda ρ (x

n

, x

n

2

) <

1

2

2

tengsizlik bajarilsin. Markazi x

n

2

nuqtada va radiusi

1

2

ga teng B

2

yopiq sharni olamiz. Tanlanishiga ko`ra,

B

2

⊂ B

1

, r

1

= 1, r

2

=

1

2

. Endi n

3

> n

2

nomerni shunday tanlaymizki,

barcha n > n

3

larda ρ (x

n

, x

n

3

) <

1

2

3

tengsizlik bajarilsin. Agar shu usulda

x

n

1

, x

n

2

, . . . , x

n

k

nuqtalar tanlangan bo`lsa, u holda x

n

k+1

nuqtani shunday

tanlaymizki, n

k+1

> n

k

va barcha n > n

k+1

larda ρ

¡

x

n

, x

n

k+1

¢

<

1

2

k+1

bo`lsin. Yuqoridagidek markazi x

n

k+1

da va radiusi

1

2

k

ga teng bo`lgan yopiq

sharni B

k+1

orqali belgilaymiz. Sharlarni bunday qurish jarayonini davom

ettira borib, ichma-ich joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligini hosil qilamiz

va ularning radiuslari ketma-ketligi

½

r

k

=

1

2

k−1

¾

, k → ∞

da nolga inti-

ladi. Teorema shartiga ko`ra,

∞

T

n=1

B

n

6= ∅

va x ∈

∞

T

n=1

B

n

bo`lsin. Bu sharlar

ketma-ketligi umumiy nuqtaga ega va bu nuqtani x deb belgilaymiz. B

k

shar-

lar ketma-ketligining qurilishiga ko`ra x nuqta {x

n

k

}

ketma-ketlikning limiti

bo`ladi. {x

n

}

fundamental ketma-ketlikning {x

n

k

}

qismiy ketma-ketligi x

nuqtaga yaqinlashgani uchun, {x

n

}

ham x nuqtaga yaqinlashadi. Shunday

qilib, x = lim

n→∞

x

n

.

∆

21.2-teorema (Ber teoremasi). To`la metrik fazoni hech yerda zich bo`l-

magan sanoqli sondagi to`plamlar yig`indisi ko`rinishida tasvirlash mumkin

emas.

200

Isbot. Teskaridan faraz qilaylik,

X =

∞

[

n=1

M

n

bo`lsin, bu yerda M

n

larning har biri hech yerda zich bo`lmagan to`plamlar.

Radiusi 1 ga teng biror B

0

yopiq sharni olamiz. Farazimizga ko`ra M

1

to`plam

B

0

da zichmas. Shuning uchun radiusi

1

2

dan kichik shunday yopiq B

1

⊂ B

0

shar mavjudki, B

1

T

M

1

= ∅

. Hech yerda zichmas M

2

to`plam B

1

shar-

da ham zichmas, shunday ekan, radiusi

1

3

dan kichik shunday B

2

⊂ B

1

yopiq shar mavjudki, B

2

T

M

2

= ∅

va hokazo. Jarayonni shu usulda cheksiz

davom ettirib, yopiq sharlarning shunday ichma-ich joylashgan {B

n

}

ketma-

ketligini hosil qilamizki, ularning radiuslari ketma-ketligi nolga intiladi. 21.1-

teoremaga ko`ra

∞

T

n=1

B

n

6= ∅.

Faraz qilaylik, x ∈

∞

T

n=1

B

n

bo`lsin. B

n

sharlar-

ning tuzilishiga ko`ra ixtiyoriy n da x /∈ M

n

,

shunday ekan, x /∈

∞

S

n=1

M

n

ya'ni X 6=

∞

S

n=1

M

n

. Bu farazimizga zid.

∆

21.2. Metrik fazolarni to`ldirish

Agar R metrik fazo to`la bo`lmasa, uni biror usul bilan (aslini olganda

yagona usul bilan) biror to`la metrik fazo ichiga joylashtirishimiz mumkin.

21.3-ta'rif. Agar: 1) R metrik fazo R

∗

to`la metrik fazoning qism fazosi

bo`lsa; 2) R to`plam R

∗

ning hamma yerida zich, ya'ni [R] = R

∗

bo`lsa, u

holda R

∗

metrik fazo R metrik fazoning to`ldirmasi deyiladi.

21.3-teorema. Har bir R metrik fazo to`ldirmaga ega va bu to`ldirma

fazo R ning nuqtalarini qo`zg`almas holda qoldiruvchi izometriya aniqligida

yagonadir.

Isbot. Dastlab to`ldirma fazoning yagonaligini isbotlaymiz. R

∗

va R

∗∗

lar R ning ikkita to`ldirma fazolari bo`lib, ρ

1

va ρ

2

mos ravishda ulardagi

masofalar bo`lsin. Ta'rifga ko`ra, har bir x

∗

∈ R

∗

uchun shunday {x

n

} ⊂ R

201

ketma-ketlik mavjud bo`lib, {x

n

} → x

∗

bo`ladi. U holda

lim

m≥n→∞

ρ (x

n

, x

m

) =

lim

m≥n→∞

ρ

1

(x

n

, x

m

) =

lim

m≥n→∞

ρ

2

(x

n

, x

m

) = 0

munosabatga ko`ra, {x

n

}

ketma-ketlik R, R

∗

va R

∗∗

fazolarda fundamental

ketma-ketlik bo`ladi. Shuning uchun, yagona x

∗∗

∈ R

∗∗

mavjud bo`lib, {x

n

} →

x

∗∗

. Bu x

∗∗

nuqta {x

n

}

ketma-ketlikning tanlanishiga bog`liq emas. Chunki,

agar {x

n

} → x

∗

va {y

n

} → x

∗

bo`lsa,

z

n

=







x

k

, agar n = 2k − 1,

y

k

, agar n = 2k

ketma-ketlik ham x

∗

ga yaqinlashadi. Tuzilishiga ko`ra, {z

n

} −

fundamental

va uning {x

k

}

qismiy ketma-ketligi x

∗∗

nuqtaga yaqinlashadi. U holda {z

n

}

ning o`zi ham x

∗∗

ga yaqinlashadi va shunday ekan, {y

n

}

qismiy ketma-ketlik

ham x

∗∗

ga yaqinlashadi. Ko`rsatilgan yo`l har bir x

∗

∈ R

∗

uchun yagona x

∗∗

ni mos qo`yadi. R

∗

va R

∗∗

o`rtasida ϕ(x

∗

) = x

∗∗

moslikni o`rnatamiz. Agar

x ∈ R

bo`lsa, x ∈ R

∗

va x ∈ R

∗∗

bo`ladi, hamda x

n

= x

statsionar ketma-

ketlik x elementga R

∗

va R

∗∗

fazolarda yaqinlashadi.

Shuning uchun, ixtiyoriy x ∈ R uchun ϕ(x) = x . Bu usulda aniqlangan ϕ

moslik R

∗

ni R

∗∗

ga o`zaro bir qiymatli akslantiradi. Endi ϕ ning izometriya

ekanligini ko`rsatamiz. Aytaylik, {x

n

} → x

∗

, x

∗

∈ R

∗

va {x

n

} → x

∗∗

, x

∗∗

∈

R

∗∗

va {y

n

} → y

∗

, y

∗

∈ R

∗

va {y

n

} → y

∗∗

, y

∗∗

∈ R

∗∗

bo`lsin. U holda

metrikaning uzluksizlik xossasiga ko`ra

ρ

1

(x

∗

,y

∗

) = lim

n→∞

ρ

1

(x

n

, y

n

) = lim

n→∞

ρ (x

n

, y

n

)

va

ρ

2

(x

∗∗

,y

∗∗

) = lim

n→∞

ρ

2

(x

n

, y

n

) = lim

n→∞

ρ (x

n

, y

n

) .

Bundan

ρ

1

(x

∗

,y

∗

) = ρ

2

(x

∗∗

,y

∗∗

) .

202

Demak, R

∗

ni R

∗∗

ga o`zaro bir qiymatli akslantiruvchi ϕ moslik mavjud

bo`lib, u quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

1) barcha x ∈ R lar uchun ϕ(x) = x ;

2) agar x

∗

↔ x

∗∗

, y

∗

↔ y

∗∗

bo`lsa, u holda ρ

1

(x

∗

,y

∗

) = ρ

2

(x

∗∗

,y

∗∗

)

.

To`ldirma fazoning yagonaligi isbotlandi.

Endi to`ldirma fazoning mavjudligini isbotlaymiz. R ixtiyoriy metrik fazo

bo`lsin. R dan olingan {x

n

}

va {x

0

n

}

fundamental ketma-ketliklar

lim

n→∞

ρ (x

n

, x

0

n

) = 0

shartni qanoatlantirsa, ular ekvivalent deb ataladi va {x

n

} ∼ {x

0

n

}

ko`rinishda

yoziladi. Tekshirish qiyin emaski, fundamental ketma-ketliklar o`rtasida kiri-

tilgan bu munosabat reeksiv, simmetrik va tranzitivdir.