M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar
Download 1.42 Mb. Pdf ko'rish
|
funksional analiz va integral tenglamalar
|
U holda u(x) − u 0 (x) (40.10) bir jinsli tenglamaning yechimi bo`ladi. 40.4- teoremaga ko`ra u(x) − u 0 (x) = C 1 ϕ 1 (x, λ 0 ) + C 2
2 (x, λ 0 ) + · · · + C q ϕ q (x, λ 0 ). Bu yerda C 1
2
ixtiyoriy o`zgarmaslar. Ma'lumki, bir jinslimas teng- lamaning umumiy yechimi, uning biror xususiy yechimi bilan bir jinsli tengla- maning umumiy yechimi yig'indisidan iborat. Shunga ko`ra (39.3) tenglama- ning λ = λ 0 dagi umumiy yechimi u(x) = f (x) + Z
a H(x, t) f (t) dt+ +C 1
1 (x, λ 0 ) + C 2
2 (x, λ 0 ) + · · · + C q ϕ q (x, λ 0 )
bo`ladi. Shunday qilib biz Fredholmning uchinchi fundamental teoremasini isbotladik. 40.5-teorema. Agar λ = λ 0 soni K(x, t) yodroning q karrali xarakte- ristik soni bo`lsa, u holda (39.3) tenglama umuman olganda yechimlarga ega emas. Bu tenglama yechimga ega bo`lishi uchun (40.31) shartlarning bajarili- shi zarur va yetarli. Agar (40.31) shartlar bajarilsa, u holda (39.3) tenglama cheksiz ko`p yechimlarga ega bo`lib, ular (40.37) formula bilan aniqlanadi. (40.37) da C 1
2
ixtiyoriy o`zgarmaslar, ϕ α (x, λ 0 ), α = 1, 2, . . . , q lar (40.21) formula bilan, H(x, t) funksiya (40.29) tenglik bilan aniqlanadi. Integral tenglamalarni yechishga doir misollar. Endi biz integral tenglamalarni Fredholm usuli bilan yechishga doir misollar qaraymiz. 40.1-misol. L 2 [−π, π] fazoda u(x) = f (x) + λ Z
−π (1 + cos x cos y)u(y)dy integral tenglamaga mos Fredholm determinanti va Fredholm minorini toping. 447
Yechish. Bu integral tenglamaning yadrosi K(x, y) = 1+cos x cos y haqi- qiy qiymatli va simmetriklik shartini qanoatlantiradi, ya'ni K(x, y) = K(y, x). Endi (40.1) formula yordamida A
koe tsiyentlarni hisoblaymiz: A 1 = Z π −π K(x, x) dx = Z
−π (1 + cos
2 x) dx = 2π + π = 3π. Xuddi shunday A 2 koe tsiyent hisoblanadi: A 2 = Z π −π dx Z
−π ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ K(x, x) K(x, y) K(y, x) K(y, y) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dy = = Z π −π dx Z
−π £ (1 + cos 2 x) (1 + cos 2
2 ¤
= Z
−π dx Z
−π ¡ cos 2 x + cos 2
¢
2 + 2π 2 − 0 = 4π 2
Intrgral tenglama yadrosining rangi 2 bo`lganligi uchun, barcha n ≥ 3 larda
= 0
bo`ladi. Shuning uchun determinant ∆(λ) quyidagiga teng bo`ladi: ∆(λ) = 1−λA 1 +
2 λ 2
2 = 1−3πλ+ 1 2
2
2 = (πλ−1)(2πλ−1). (40.38) Integral tenglama yadrosining rangi 2 bo`lganligi uchun, barcha n ≥ 2 larda B n (x, t) = 0 tenglik o'rinli. B 1 (x, t) uchun esa quyidagi B 1 (x, t) = Z π −π ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ K(x, t) K(x, t 1 ) K(t 1
1
1 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt 1 = = (2π + π) (1 + cos x cos t) − 2π − π cos x cos t = π + 2π cos x cos t. tenglik o'rinli. Shunday qilib D(x, t; λ) uchun quyidagiga ega bo`lamiz: D(x, t; λ) = λ K(x, t) − λ 2
1 (x, t) = λ(1 + cos x cos t)− −λ 2 (π + 2π cos x cos t) = λ(1 − πλ) + λ (1 − 2πλ) cos x cos t . (40.39) 40.2-misol. K(x, y) = 1 + cos x cos y yadroning xarakteristik sonlari va fundamental funksiyalarini toping. 448
Yechish. Yadroning xarakteristik sonlari bu ∆(λ) ning nollaridir. 40.1- misolda K(x, y) = 1 + cos x cos y yadroga mos Fredholm determinanti to- pilgan. Uning nollari ((40.38) ga qarang) λ 1 = π −1 va λ 2 = (2π) −1 lardir.
Demak, ular K(x, y) yadroning xarakteristik sonlari bo`ladi. Bu λ 1 va λ 2 nuqtalarda birinchi tartibli minor D(x, t; λ) noldan farqli bo`lganligi uchun bu xarakteristik sonlarning karraliklari birga teng, ya'ni bir jinsli tenglamaning yechimlari to`plami bir o`lchamli chiziqli fazodir. (40.39) ga ko`ra bu xarakte- ristik sonlarga mos keluvchi fundamental funksiyalar quyidagicha bo`ladi:
1 ) = D(x, 0; λ 1 ) = − 1
cos x, ψ(x, λ 2 ) = D(x, 0; λ 2 ) =
1 4π . 40.3-misol. L 2 [−π, π] fazoda u(x) = sin x + λ Z
−π (1 + cos x cos y)u(y)dy. (40.40) Bir jinslimas integral tenglamani λ = λ 1 = π −1 bo`lganda 40.5-teoremadan foydalanib yeching. Yechish. Qaralayotgan integral tenglama yechimga ega bo`lishi uchun ozod had f(x) = sin x (40.40) ga mos bir jinsli tenglamaning barcha yechimlariga ortogonal bo`lishi zarur va yetarlidir. (40.40) ga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi 40.2-misol va 40.4-teoremaga ko`ra Cϕ(x, λ 1 ) ko`rinishda bo`ladi. Bu holda ortogonallik sharti bajariladi. Haqiqatan ham, C Z
−π f (x )ϕ(x, λ 1 ) dx = C Z π −π sin x µ
1
cos x ¶
Endi (40.40) tenglamaning umumiy yechimini topish uchun biz (40.29) tenglik bilan aniqlanuvchi H(x, t) funksiyani qurishimiz kerak. Buning uchun esa bizga (40.16) tenglik bilan aniqlanuvchi ikkinchi tartibli minor D 2 (x, t; λ 1 ) kerak bo`ladi. Integral tenglama yadrosining rangi 2 bo`lganligi uchun, barcha n ≥ 1 larda
B n x 1
2
1
2
449 ayniyat o'rinli. Bundan (40.16) ga ko`ra D x 1
2
1
1
2
1
2 1
0
x 1
2
1
2
tenglikka kelamiz. Murakkab bo`lmagan hisoblashlar shuni ko`rsatadiki B 0 x 1
2
1
2
= cos x 1 cos t 1 + cos x 2 cos t 2 − cos x 1 cos t 2 − cos x 2 cos t 1 tenglik o'rinli. Natijada biz D x 1
2
1
1
2
1
= π −2 (cos x 1 cos t 1 + cos x 2 cos t 2 − cos x 1 cos t 2 − cos x 2 cos t 1 ) tenglikni olamiz. U holda H(x, t) quyidagiga teng bo`ladi: H(x, t) = D x, 0, λ 1
1
D(0, 0; λ 1 ) = − 1
(cos x cos t + 1 − cos x − cos t) . Endi (40.36) yordamida xususiy yechim u 0 (x) ni topamiz: u 0 (x) = f (x) + Z π −π H(x, s) f (s)ds = sin x + 0 = sin x. 40.5-teoremaga ko`ra umumiy yechim u(x) = u 0 (x) + C ϕ(x, λ 1 ) = sin x + C cos x. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar 1. (39.3) integral tenglamaga mos Fredholm determinanti va minori qanday aniqlanadi. 450
2. u(x) = sin x + λ R
−π (2 cos x cos t − sin x sin t)u(t)dt integral tenglamaga mos Fredholm determinantini toping. 3.
R
−π (3 cos x cos t − 5 sin x sin t)u(t)dt integral tengla- maga mos Fredholm minorini toping. 4.
yadroning xarakteristik sonlari va ularga mos fundamental funksiyalarini toping. 5. Quyidagi u(x) = sinx + 1
Z
(cos x cos t − sin x sin t)u(t)dt integral tenglama umumiy yechimini 40.5-teoremadan foydalanib toping. 6. Agar K(x, t) yadro (38.11) ko`rinishda (rangi n bo`lgan ajralgan yadro) bo`lsa, barcha k ≥ n larda A k+1 = 0, B k (x, t) ≡ 0 bo`lishini isbotlang. 451
Foydalanilgan adabiyotlar 1. Êîëìîãîðîâ À.Í., Ôîìèí Ñ.Â. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèî- íàëüíîãî àíàëèçà. Ìîñêâà: Íàóêà. 1989. 2. Sarimsoqov T.A. Haqiqiy o`zgaruvchining funksiyalari nazariyasi. Toshkent: Fan. 1994. 3. Sarimsoqov T.A. Funksional analiz kursi. Toshkent: O`qituvchi. 1986. 4. Sh.O. Alimov, R.R.Ashurov. Matematik tahlil. 1-qism. Toshkent. Ka- malak. 2012. 5. Ëþñòåðíèê Ë.A., Ñîáîëåâ Â.È. Ýëåìåíòû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ìîñêâà: Íàóêà. 1965. 6. Òðåíîãèí Â.À. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ìîñêâà: Íàóêà. 1980. 7. Ô.Ðèññ, Á.Ñåêåôàëüâè-Íàäü. Ëåêöèè ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. Ìîñêâà: Ìèð. 1979. 8. Sh.A. Ayupov, M.A. Berdiqulov, R.M. Turg`unboyev. Funksiyalar naza- riyasi. Toshkent. 2004. 9. Sh.A. Ayupov, M.A. Berdiqulov, R.M. Turg`unboyev. Funksional analiz. Toshkent. 2008. 10.
Ó.Â. Ëîâèòò. Ëèíåéíûå èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. 1958. 11.
Þ.Ì.Áåðåçàíñêèé, Ã.Ô.Óñ, Ç.Ã.Øåôòåëü. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Êèåâ.: Âûcøàÿ øêîëà. 1990. 12. J.I. Abdullayev, R.N. G`anixo`jayev, M.H. Shermatov, O.I.Egamberdiyev. Funksional analiz. O`quv qo`llanma. Toshkent-Samarqand. 2009. 452
Asosiy belgilashlar [A], ¯ A − 183 A 0 − 184 ◦ A −189 A ∗ − 352, 353 A ∼ B − 25 A n u −→ A − 322 A n s −→ A − 322 A n w −→ A − 322 AC[a, b] − 179 AC 0 [a, b] − 259 N − 12 B(x 0
B[x 0
dim L − 231
1
2
P
⊕H n − 285 Q − 12 ∅ − 8 R − 12 R +
R n − 12 R
1
R
p − 174 R
∞ − 171 C − 12 C
0
C[a, b] − 171, 228, 255 C 1 [a, b] − 173 C 2 [a, b] − 173 C (n) [a, b] − 256
1
2
˜
1 [a, b] − 232 ˜ L p [a, b] − 232 ˜
(0)
p [a, b] − 232, 236 L p [a, b] − 236, 260 L + 2 [−a, a] − 285 453
L − 2 [−a, a] − 281 L − 0 [−a, a] − 281 ` 2
` p − 177 f but n − 106 f (A) − 14 f −1 (B) − 14 f + (x) − 132 f − (x) − 132 R λ (A) − 362 V b a [f ] − 141 V [a, b] − 179, 230, 260 V 0 [a, b] − 233, 258 X ∗ = L(X, C) − 309 x n w −→ x − 384 x⊥y − 264 [x] − 12 ¯
Z − 12 Z +
kAk − 297 kf k − 306 (x, y) − 262 kxk − 254 ρ(x, y) − 168 D − 13 R − 13
A(A) − 36, 42 M (S) − 36 U(E) − 53 K − 65, 66
(A) − 362 σ ess (A) − 363 σ pp (A) − 362 ∆(λ) − 431 454
Predmet ko'rsatkichi Absolyut uzluksiz funksiya - 154 Absolyut uzluksiz o`lchov - 63 Additiv o`lchov - 49 Additiv operator - 292 Additiv funksional - 239 Akslantirish - 12
additive o`lchov - 59 σ− additiv o`lchovni davom ettirish - 77 Algebra - 36 σ − algebra - 42 δ − algebra - 42 Algebraik son - 27 Arifmetik yig`indi - 27 Arifmetik Evklid fazo - 12 Arsela teoremasi -210 Bazis - 231 Banax teoremasi -336 Banax-Shtenxaus teoremasi - 330 Ber teoremasi - 200 Banax fazosi - 255 Bessel tengsizligi - 270 Birlik operator - 293 Biyektiv akslantirish - 16 Borel to`plami -43 bo`sh to`plam -8 Deyarli yaqinlashishdan o`lchov bo`yicha yaqinlashishning kelib chiqishi - 98 Dierensial operator - 294 Ekvivalent funksiyalarning bir vaqtda o`lchovli bo`lishligi - 94 Evklid fazo bazisi - 265 Hamma yerda zich to`plam - 186 Hech yerda zichmas to`plam - 186 Fredholm integral tenglamasi - 396 Gyolder tengsizligi -174 Integral operator -295 Integral tenglama -295 Inyektiv akslantirish - 16 Ichma-ich joylashgan sharlar - 199 Kantor to`plami -31 Kantor-Bernshteyn teoremasi - 30-31 Kompakt operator -372 Kompakt to`plam -207 Kontinuum quvvatli to`plam - 29 Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi -263 Lebeg teoremasi (integral belgisi osti- da limitga o`tish) - 125,156,139 Lebeg integralining absolyut uzluksiz- lik xossasi - 124 Limitik funksiyaning o`lchovliligi - 92,96 Metrika aksiomalari - 170 Metrik fazoni to`ldirish haqidagi teo- 455
rema -201 Minkovskiy tengsizligi - 174 Mukammal to`plam - 184 Nisbiy kompakt to`plam -207 Nol operator - 293 Norma aksiomalari - 260 Operator - 291 Operator rezolventasi - 362 Operator xos qiymati - 362 Operator xos vektori - 362 Operator normasi - 298 Ortogonal bazis - 265 Ortogonal sistema - 264 Ortogonal normalangan sistema - 264 Ortogonal vektorlar - 264 Ortogonal to`ldiruvchi - 282 Ortogonal qism fazo - 282 Ortogonallashtirish jarayoni - 266 Ochiq va yopiq to`plamlarni bog`lovchi teorema - 190 Ochiq to`plam - 189 Qavariq to`plam - 244 Qavariq jism - 244 Qisuvchi akslantirishlar prinsipi - 218 Riss teoremasi - 320 Riss-Fisher teoremasi - 273 Sanoqli to`plam - 22 Sanoqsiz to`plam - 25 Syuryektiv akslantirish - 16 Tashqi o`lchovning yarim additivligi - 49 Tashqi o`lchovning additivligi - 49 Teskari operatorlar haqidagi teoremalar - 340-345 Tenglama - 400 To`plam - 8 To`plamlar halqasi - 35 To`plamlar yarim halqasi - 37 To`plamlar algebrasi - 36 To`plamlar birlashmasi - 9 To`plamlar kesishmasi - 9 To`plamlar ayirmasi - 10 To`plamlar simmetrik ayirmasi -10 To`plam yopig`i - 183 To`plam quvvati - 34 To`plamning akslantirishdagi asli - 14 To`plamning akslantirishdagi tasviri yo- ki aksi - 14 To`plamning urinish nuqtasi - 183 To`plamning limitik nuqtasi - 184 To`plamning ichki nuqtasi - 189 To`plamning yakkalangan nuqtasi - 184 To`la variatsiya - 141 To`ldiruvchi to`plam - 10 456
To`ldiruvchi to`plamning o`lchovli bo`lishi - 58 Uzluksiz operator - 292 Variatsiya - 141 Vektor - 228 Vektor fazo - 228 Vektorlar ortogonalligi - 264 Volterra integral tenglamasi - 401 Yegorov teoremasi - 96 Yopiq to`plamlarning birlashmasi va kesishmasi haqidagi teorema -188 Yopiq to`plam - 188 Zich to`plam - 186 O`lchovning additivlik xossasi -56,81 O`lchovli to`plamlar sistemasining hal- qa tashkil qilishi - 55,80 O`lchovli to`plamlar sistemasining σ − algebra tashkil qilishi - 59,82 O`lchovning additivligi - 56,81 O`lchovning σ − additivligi - 59,81 O`lchovning uzluksizligi - 60 O`lchovli to`plam -53 O`lchovni davom ettirish - 71
o`lchovning yarim additivligi - 49 m 0 o`lchovning σ − additivligi - 51 O`lchovli funksiyalar to`plamining arifme- tik amallarga nisbatan yopiqligi - 87 O`lchov bo`yicha yaqinlashish ketma- ketlikda deyarli yaqinlashishdan qis- miy ketma-ketlik ajratish mumkinligi - 100
Chebishev tengsizligi - 122 Chegaralangan to`plam - 183 Chegaralangan operator - 303 Chekli to`plam -21 Cheksiz to`plam - 21 Chekli olchamli operator - 373 Chiziqli fazo - 227-228 Chiziqli funksional - 2391 Chiziqli qobiq - 234 Chiziqli operator - 292 Chiziqli ko`pxillilik - 292-258 Chiziqli bog`langanlik - 236 Chiziqli fazo bazisi -231 Chiziqli operator - 299 457 Download 1.42 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|