M. H. Shermatov, O. I. Egamberdiyev funksional analiz va integral tenglamalar

37.2-teorema. Agar K(x, y) yadro (37.5) shartni qanoatlantirsa, u holda

L

2

[a, b]

fazoda (37.6) tenglik bilan aniqlanuvchi T operator kompakt va uning

normasi uchun quyidagi tengsizlik o`rinli

k T k ≤

s

Z

b

a

Z

b

a

|K(s, t)|

2

dsdt.

(37.7)

Isbot. Avvalo shuni ta'kidlaymizki, Fubini teoremasi va (37.5) shartga

ko`ra, deyarli barcha s lar uchun

Z

b

a

|K(s, t)|

2

dt

integral mavjud. Boshqacha aytganda, K(s, t) funksiya t ning funksiyasi

sifatida deyarli barcha s larda L

2

[a, b]

fazoga qarashli. Kvadrati bilan in-

tegrallanuvchi funksiyalarning ko`paytmasi integrallanuvchi bo`lgani uchun,

(37.6) ning o`ng tomonidagi integral deyarli barcha s lar uchun mavjud, ya'ni

ψ(s) = (T φ) (s)

funksiya deyarli hamma yerda aniqlangan. ψ ∈ L

2

[a, b]

ekanligini ko`rsatamiz. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko`ra, deyarli barcha

s

lar uchun

|ψ(s)|

2

=

¯

¯

¯

¯

Z

b

a

K(s, t) φ(t) dt

¯

¯

¯

¯

2

≤

≤

Z

b

a

|K(s, t)|

2

dt

Z

b

a

|φ(t)|

2

dt = kφk

2

Z

b

a

|K(s, t)|

2

dt

398

tengsizlikni olamiz. Oõirgi ifodani a dan b gacha s bo`yicha integrallab va

|K(s, t)|

2

dan takroriy integralni ikki karrali integralga almashtirib, quyidagi

tengsizlikka ega bo`lamiz

kT φk

2

=

Z

b

a

|ψ(s)|

2

ds ≤ kφk

2

Z

b

a

Z

b

a

|K(s, t)|

2

dtds.

Bu yerdan |ψ(s)|

2

ning integrallanuvchanligi va (37.7) tengsizlik kelib chiqadi.

Endi T operatorning kompaktligini ko`rsatish qoldi. {ψ

n

}

sistema L

2

[a, b]

fazoda to`la ortonormal sistema bo`lsin. U holda {ψ

m

(s) ψ

n

(t)}

ko`paytmalar

sistemasi L

2

([a, b] × [a, b])

fazoda to`la ortonormal sistemani tashkil qiladi

va demak,

K(s, t) =

∞

X

m=1

∞

X

n=1

a

mn

ψ

m

(s) ψ

n

(t)

yoyilma o`rinli. Endi

K

N

(s, t) =

N

X

m=1

N

X

n=1

a

mn

ψ

m

(s) ψ

n

(t)

yadroga mos Fredholm operatorini T

N

bilan belgilaymiz. Bu operator kom-

pakt, chunki u chegaralangan va L

2

[a, b]

fazoni chekli N− o`lchamli qism

fazoga akslantiradi. Haqiqatan ham, iõtiyoriy φ ∈ L

2

[a, b]

uchun

(T

N

φ) (s) =

Z

b

a

K

N

(s, t) φ(t)dt =

=

N

X

m=1

N

X

n=1

a

mn

ψ

m

(s)

Z

b

a

f (t)ψ

n

(t) dt =

N

X

m=1

ψ

m

(s)

N

X

n=1

a

mn

b

n

,

bu yerda b

n

=

R

b

a

f (t) ψ

n

(t) dt.

Demak, T

N

operator L

2

[a, b]

fazoni ψ

1

, ψ

2

, . . . ,

ψ

N

funksiyalarning chiziqli qobig`i bo`lgan N− o`lchamli qism fazoga aks-

lantiradi. K

N

(s, t)

funksiya K(s, t) funksiyaning {ψ

m

(s) ψ

n

(t)}

sistema

bo`yicha Furye qatorining qismiy yig`indisidan iborat. Shuning uchun, N →

∞

da

Z

b

a

Z

b

a

|K(s, t) − K

N

(s, t)|

2

ds dt → 0.

399

Endi (37.7) tengsizlikni T − T

N

operatorga qo`llasak,

kT − T

N

k ≤

s

Z

b

a

Z

b

a

|K(s, t) − K

N

(s, t)|

2

dsdt → 0,

N → ∞.

Shunday qilib, {T

N

}

kompakt operatorlar ketma-ketligi norma bo`yicha T

operatorga yaqinlashadi. Kompakt operatorlarning asosiy xossalari mavzusida-

gi 36.1-natijaga asosan T ham kompakt operator bo`ladi.

∆

Eslatmalar.

1. 37.2-teoremaning isboti davomida biz shu narsani o`rnatdikki, har qan-

day Fredholm operatori chekli o`lchamli operatorlarning norma bo`yicha limi-

tidir.

2. T

1

, T

2

−

(37.6) ko`rinishdagi ikkita operator va K

1

, K

2

−

ularga mos

keluvchi yadrolar bo`lsin. Agar barcha φ ∈ L

2

[a, b]

lar uchun T

1

φ = T

2

φ

bo`lsa, u holda deyarli hamma yerda K

1

(s, t) = K

2

(s, t).

Haqiqatan ham,

agar barcha φ ∈ L

2

[a, b]

lar uchun

(T

1

φ − T

2

φ)(s) =

Z

b

a

(K

1

(s, t) − K

2

(s, t)) φ(t)dt = 0

bo`lsa, deyarli barcha s ∈ [a, b] larda

Z

b

a

|K

1

(s, t) − K

2

(s, t)|

2

dt = 0

va demak,

kK

1

− K

2

k

2

=

Z

b

a

Z

b

a

|K

1

(s, t) − K

2

(s, t)|

2

dsdt = 0.

Bu yerdan bizning tasdig`imiz K

1

(s, t) = K

2

(s, t)

kelib chiqadi. Ma'lumki,

L

2

¡

[a, b]

2

¢

fazoda ekvivalent funksiyalar bitta element sifatida qaraladi, shu-

ning uchun aytish mumkinki, integral operatorlar bilan yadrolar o`rtasidagi

moslik o`zaro bir qiymatlidir.

37.3-teorema. T − K(s, t) yadro bilan aniqlanuvchi Fredholm opera-

tori bo`lsin. U holda unga qo`shma bo`lgan T

∗

operator K(t, s) yadro bilan

aniqlanadi.

400

Isbot. Fubini teoremasidan foydalanib, quyidagiga ega bo`lamiz:

(T f, g) =

Z

b

a

½Z

b

a

K(s, t)f (t)dt

¾

g(s)ds =

Z

b

a

Z

b

a

K(s, t)f (t)dtg(s)ds =

=

Z

b

a

½Z

b

a

K(s, t)g(s)ds

¾

f (t)dt =

Z

b

a

f (s)

½Z

b

a

K(t, s)g(t)dt

¾

ds = (f, T

∗

g).

Bu yerdan

(T

∗

g)(s) =

Z

b

a

K(t, s)g(t)dt

tenglik, ya'ni teoremaning tasdig`i kelib chiqadi.

∆

Õususan, (37.6) ko`rinishdagi T operator L

2

[a, b]

fazoda o`z-o`ziga qo`shma,

ya'ni T

∗

= T

bo`lishi uchun ((33.14) ga qarang)

K(s, t) = K(t, s)

(37.8)

shartning bajarilishi yetarli va zarurdir. Haqiqiy Hilbert fazosi (va demak

haqiqiy K yadro) qaraladigan holda o`z-o`ziga qo`shmalik sharti bo`lib, K(s, t)

= K(t, s)

tenglik õizmat qiladi. (37.8) shartni qanoatlantiruvchi yadrolar sim-

metrik yadrolar deyiladi.

Hilbert-Shidt usuli. Endi (37.8) shartni qanoatlantiruvchi yadroli integ-

ral tenglamani o`rganamiz. Yuqorida aytilganidek, bu holda

(T φ)(s) =

Z

b

a

K(s, t)φ(t)dt

o`z-o`ziga qo`shma kompakt operator. Demak, bu operatorga Hilbert-Shmidt

teoremasini qo`llash mumkin. (37.2) tenglamani qisqacha

φ = T φ + f

(37.9)

ko`rinishda yozamiz. Hilbert-Shmidt teoremasiga asosan, T operator uchun

{λ

n

}

õos qiymatlarga mos keluvchi õos funksiyalarning shunday {ψ

n

}

ortonor-

mal sistemasi mavjudki, iõtiyoriy ξ ∈ L

2

[a, b]

element yagona usul bilan

ξ =

X

n=1

a

n

ψ

n

+ ξ

0

,

ξ

0

∈ Ker T,

401

ko`rinishda ifodalanadi. Shunday qilib,

f =

X

n=1

b

n

ψ

n

+ f

0

, f

0

∈ Ker T,

(37.10)

deymiz va (37.9) tenglamaning yechimini

φ =

X

n=1

x

n

ψ

n

+ φ

0

, φ

0

∈ Ker T,

(37.11)

ko`rinishda izlaymiz. (37.10), (37.11) yoyilmalarni (37.9) ga qo`yib,

X

n=1

x

n

ψ

n

+ φ

0

=

X

n=1

x

n

λ

n

ψ

n

+

X

n=1

b

n

ψ

n

+ f

0

tenglamaga kelamiz, ya'ni

X

n=1

(1 − λ

n

)x

n

ψ

n

+ φ

0

=

X

n=1

b

n

ψ

n

+ f

0

.

Bunday yoyilma yagona bo`lganligi sababli

φ

0

= f

0

,

x

n

(1 − λ

n

) = b

n

,

n = 1, 2, 3, . . . .

Agar λ

n

6= 1

bo`lsa, u holda x

n

= b

n

(1 − λ

n

)

−1

va λ

n

= 1

bo`lsa, b

n

= 0.

Ko`rinib turibdiki, λ

n

= 1

holda b

n

= 0

shart (37.9) tenglamaning yechim-

ga ega bo`lishi uchun yetarli va zarurdir. Bunday λ

n

= 1

uchun x

n

−

iõtiyoriy.

Shu bilan quyidagi teorema isbotlandi.

37.4-teorema. Agar 1 soni T operator uchun õos qiymat bo`lmasa, u

holda (37.9) tenglama iõtiyoriy f uchun yagona yechimga ega. Agar 1 soni

T

operator uchun õos qiymat bo`lsa, u holda (37.9) tenglama yechimga ega

bo`lishi uchun f funksiya 1 soniga mos keluvchi barcha õos funksiyalarga

ortogonal bo`lishi yetarli va zarurdir. Bu holda (37.9) tenglama yechimlarining

soni cheksizdir.

37.2. L

2

[−π, π]

Hilbert fazosida

u(x) =

λ

2π

Z

π

−π

(1 + cos x cos y)u(y)dy + f (x) := (T

λ

u)(x) + f (x) (37.12)

402

integral tenglama berilgan. Parametr λ ∈ R ning qanday qiymatlarida T

λ

uchun bir soni xos qiymat bo`ladi?

Yechish. Qaralayotgan integral tenglamaning yadrosi

K(x, y) =

λ

2π

(1 + cos x cos y)

haqiqiy qiymatli va simmetriklik shartini qanoatlantiradi, ya'ni

K(x, y) = K(y, x)

⇐⇒

T

∗

λ

= T

λ

.

Endi xos qiymat uchun tenglama T

λ

u = u

ni qaraymiz, ya'ni:

λ

2π

Z

π

−π

u(y)dy +

λ

2π

cos x

Z

π

−π

cos y u(y)dy = u(x).

(37.13)

Agar biz (37.13) da

α =

Z

π

−π

u(y)dy

va β =

Z

π

−π

cos y u(y)dy

(37.14)

belgilashlarni kiritsak, u holda u(x) uchun quyidagi ifodani olamiz:

u(x) =

λ

2π

α +

λ

2π

β cos x.

(37.15)

(37.15) ni (37.14) ga qo`yib,

Z

π

−π

dy = 2π,

Z

π

−π

cos ydy = 0,

Z

π

−π

cos

2

ydy = π

(37.16)

tengliklardan foydalansak, α va β larga nisbatan quyidagi tenglamalar sis-

temasini olamiz:















α =

π

R

−π

µ

λ

2π

α +

λ

2π

β cos y

¶

dy = αλ,

β =

π

R

−π

cos y

µ

λ

2π

α +

λ

2π

β cos y

¶

dy =

λ

2

β.

Bu tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega bo`lishi uchun uning determi-

nanti ∆(λ) ning nol bo`lishi zarur va yetarlidir, ya'ni

∆(λ) = (1 − λ)(1 −

λ

2

) = 0.

(37.17)

403

(37.17) dan λ = 1 yoki λ = 2 larni olamiz. Demak, λ parametrning λ

1

= 1

va λ

2

= 2

qiymatlarida T

λ

uchun 1 soni xos qiymat bo`ladi. Endi T

1

u =

u

va T

2

u = u

tenglamalarni yechamiz. Yuqorida bayon qilinganlardan bu

tenglamalarning yechimlari mos ravishda u

1

(x) = C

va u

2

(x) = C · cos x

(C = const)

ekanliklari kelib chiqadi.

37.3. 37.2-misolda qaralgan (37.12) integral tenglamaga λ /∈ { 1; 2} bo`lgan

holda 37.4-teoremani qo`llang va (37.12) integral tenglamani yeching.

Yechish. Agar λ /∈ { 1; 2} bo`lsa, u holda T

λ

operator uchun bir xos

qiymat emas, 37.4-teoremaga ko`ra, (37.12) integral tenglama istalgan f ∈

L

2

[−π, π]

da yagona yechimga ega. (37.14) belgilashdan foydalansak, (37.12)

tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:

u(x) = f (x) +

λ

2π

α +

λ

2π

β cos x.

(37.18)

(37.18) ni (37.14) ga qo`yib, (37.16) tengliklardan foydalansak, α va β larga

nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz:















α =

π

R

−π

f (y)dy + αλ,

β =

π

R

−π

cos y f (y)dy +

λ

2

β.

Bu sistema λ /∈ { 1; 2} da yagona yechimga ega va















α =

1

1 − λ

π

R

−π

f (y)dy,

β =

2

2 − λ

π

R

−π

cos y f (y)dy.

α

va β larning bu qiymatlarini (37.18) ga qo`yib, (37.12) tenglamaning yechi-

mini olamiz:

u(x) = f (x) +

λ

2π

1

1 − λ

π

Z

−π

f (y)dy +

λ

π

1

2 − λ

cos x

π

Z

−π

cos y f (y)dy. (37.19)

37.4. 37.2-misolda qaralgan tenglamani λ = 1 bo`lgan holda, ya'ni

u(x) =

1

2π

Z

π

−π

(1 + cos x cos y)u(y)dy + f (x)

(37.20)

404

tenglamani yeching.

Yechish. Agar λ = 1 bo`lsa, u holda T

λ

operator uchun bir xos qiymat

bo`ladi. 37.4-teoremaga ko`ra, (37.20) tenglama yechimga ega bo`lishi uchun

f

funksiya T

1

u = u

tenglamaning barcha yechimlariga, ya'ni u(x) = const

ga (37.2-misolga qarang) ortogonal bo`lishi zarur va yetarli. Demak, (37.20)

tenglama yechimga ega bo`lishi uchun

Z