Махмудов э. Ж., Палуанов д. Т. Г и д р а в л и к а а с о с л а р и

p билан белгиланади, яъни


О

1. 
   расм. Гидростатик босимни аниклаш схемаси
   

(2.1)


AF


р = lim


AS


(2.2)




Суюкликдаги уринма кучланиш, яъни ишкаланиш кучи кучланиши т билан белгиланади ва куйидаги формула буйича аникланади:
T AT т_ур = —; т = lim (2.3)
^ypS AS
^ачонки суюклик тинг холатда булса, унда уринма кучланиш мавжуд булмайди ва факат гидростатик босим мавжуд булади.

2. 
   Г идростатик босимнинг хоссалари
   

2. 
   хосса. Г идростатик босим хар доим юзага, у каерга таъсир килаётган булса ички нормал буйича йуналган. Бу босимнинг юзаки кучлари бирлигидек, гидростатик босимни аниклашдан келиб чикади.
   
3. 
   хосса. Суюкликнинг ихтиёрий нуктасида гидростатик босим хамма йуналишлар буйича бир хил, у юза ориентирига боглик эмас.
   

Ушбу хоссани исботлаш учун dx,dy,dz киррали булган тетраэдр шаклга эга кичкина элементар хажм ажратиб оламиз (2.2-расм). Тетраэрднинг учта кирраси координата текислигида ётибди, кия кирраси эса туташган хисобланади. х уки киррасига нормал таъсир этувчи гидростатик босимни р_х оркали белгилаб оламиз, шу сингари бошка босимларни р_у, p_z белгилаймиз. ^ия киррасига таъсир этувчи гидростатик босимни р_п билан, ушбу кирранинг юзасини эса S_n билан белгилаймиз.
Ажратиб олинган суюкликка юза кучларидан ташкари масса кучи таъсир килади. Координата укидаги ягона масса кучлари проекциясини (яъни, тезланишини) g_x, g_y, g_z билан
белгилаймиз.
Суюкликнинг ажратиб олинган хажмига мувозанат тенгламасини тузамиз. Назарий механикадан маълумки, агар жисм мувозанат холатда булса, унда x,y,z уки проекциясидаги хамма таъсир этувчи кучлар йигиндиси нолга тенг булади.

2.2-расм. Гидростатик босим хоссаларига доир схема

Куриб чикилаётган тетраэдр учун мувозанат шартини
куйидагича ёзиш мумкин:
1“p_xdydz - p_nS_n cos(n^A x) + — g_xpdxdydz = 0;
[ 2 6

1. 
   p_ydxdz - p_nS_n cos(nAy) +1 g_ypdxdydz = 0; (2.4)
   

\¹ p_zdxdy - p_nS_n cos(nA z) +¹ g_zpdxdydz = 0.
[ 2 6
Чунки S_n cos(nA x) = — dydz ; S_n cos(nA y) = ¹ dxdz;
ⁿ 2 ⁿ 2
S_n cos(nA z) = 1 dxdy, унда (2.4) тизимидаги биринчи тенгламани

1. 
   dydz га булиб, куйидаги тенгламани оламиз
   

1


px ^- p_n + 3 gx pd* = ⁰


(2.5)


Тетраэдр улчамларини нол (dx ^ 0) га интилганида тенгламанинг охирги хади нолга интилади. Шундай килиб, чегаради p_x = p_n ни оламиз.
Долган босимларни хам шундай сингари топамиз: p_y = p_n;
P_z = Pn ^{, ёки}

Px = Py = Pz = Pn (2.6)

Чунки dx,dy,dz тетраэдр улчамлари ихтиёрий олинган, унда S_n юза киялиги ихтиёрий, шундай килиб, нуктадаги
гидростатик босим шу нукта атрофида юзанинг узгариши билан узгармайди. Суюклик ичида олинган х,ар хил нукталарда босим х,ар хил булади.

3. 
   Суюклик мувозанатининг дифференциал тенгламаси (Эйлер тенгламаси)
   

x,y,z укларидаги тугри бурчакли координата тизимида тугрибурчакли параллелепипед шаклидаги, кирралари координата укларига параллел ва dx,dy,dz га мувофик тенг булган суюкликнинг элементар хджмини куриб чикамиз (2.3- расм). Параллелепипед марказидан x,y,z координатасига эга А нук;та оламиз.


2.3-расм. Суюклик мувозанатининг дифференциал тенгламаси
хулосасига схема
Чап киррасидан р_чап ва унг киррасидан р_унг гидростатик босимлар таъсир этишини курамиз. х уки буйлаб босим
градиенти — таъсир этишини курамиз. Координата укларидаги
дх

ягона масса кучлари (тезланиш) проекцияларини g_x, g_y, g_z

этиб белгилаймиз. Суюклик атрофини параллелепипеднинг хдмма кирраларига таъсир этувчи кучлар билан алмаштирилган.
Тахмин киламиз, А нуктада р босим таъсир килади, унда ён кирраларга куйидаги босимлар таъсир килади:
Р чап = Р ^- 2 ^dx ^ (²-⁷⁾

2. 
   dx
   

Рунг = Р +- ^dx~ ⁽²⁸⁾

1. 
   dx ^
   
2. 
   dx
   

Чап ва унг кирраларига таъсир этувчи мос кучлар куйидаги куринишда аниклаш мумкин:
^F4an = ^f Р ^- 2 ^{dx d}p^j^dzdy ⁽²⁹⁾


F_yнг =1 Р + - dx— \dzdy (2.10)

1. 
   dx ^dP
   
2. 
   dx
   

Суюкликнинг ажратиб олинган элементар хджмга юза кучларидан ташкари масса кучлари х,ам таъсир этади. х уки буйлаб g_x тезланиш таъсир этади ва F_x масса кучини юзага келтиради:
^Fx = gx^m = gx P^dxdy^{dz (2}. ¹¹⁾
Суюклик хджми тинч х,олатда (мувозанат) булади, шундай килиб, х укидаги хдмма кучлар проекциялари йигиндиси нолга тенг булади, яъни
f 1 dp Л f 1 dp Л
I p dx— \dydz -1 p + — dx— \dydz + g_xpdxdydz = 0 (2.12)
^ 2 dx J ^ 2 dx J
Алгебраик узгартирувчиларни киритиб, куйидаги куринишни оламиз
| = Pg- (2.13)
dx
y, z уклари буйича суюкликнинг элементар хджми мувозанатини х уки сингари куриб чикиш мумкин:

(2.14)

Олинган тенгламалар дифференциал


шаклидаги


суюкликнинг мувозанатининг хдмма шартларини такдим этади. Гидростатиканинг дифференциал тенгламалар тизими Эйлер тенгламаси деб аталади. Бу тенглама 1755 йили Леонард Эйлер томонидан олинган.
Тенламадан куриниб турибдики, гидростатик босимнинг бирор координата уклари йуналишида узгариши зичликнинг бирлик огирлик кучининг уша ук йуналишидаги проекцияси купайтмасига тенг, яъни тинч турган суюкликдаги босимнинг узгариши масса кучлари х,исобига содир булади.
dx, dy ва dz ни мос равишда (2.14) тенгламалар тизимига купайтирамиз ва х,адма-х,ад кушамиз


тенгламани оламиз.
Тенгламанинг чап кисми dp босимнинг тулик дифференциалини такдим этади. Унда тенгламани куйидагичи ёзамиз:


Олинган (2.16) тенглама фазодаги координата нукталари ва суюклик зичлигининг босим билан богликлик функционалини ифодалайди.

16. 
    тенглама суюклик мувозанатининг келтирилган дифференциал тенгламаси деб аталади.
    

^dp = P⁽gx^dx + gy^dy + gz^dz)


(2.16)

4. 
   Босими тенг сиртлар тенгламаси
   

Босими тенг сиртлар - бу босим хамма нукталарда тенг булган сирт, яъни p = const, унда dp = 0 .
Босими тенг сиртлар учун (2.16) тенгламани ёзамиз. Босими тенг сиртлар тенгламаси куйидаги куринишни олади:
g_x^dx + g_y^dy + g_z^dz = ^{0 (2}.¹⁷⁾
Шундай сиртлар айрим холларда эркин сирт - суюклик ва газсимон мухит кисм сирти х,исобланади.

5. 
   Г идростатиканинг асосий тенгламаси
   

Суюклик мувозанатининг кенг таркалган холати, унга факат битта масса кучи - огирлик кучи таъсир килаётганини куриб чикамиз ва куриб чикилаётган суюклик хажмининг хар бир нуктасидаги гидростатик босим тенгламасини оламиз.
Идиш ичида суюклик булсин ва унинг эркин сиртига р₀ босим тасъир килади (2.2-расм). h чукурликда жойлашган ихтиёрий М нуктада олинган р гидростатик босимни топамиз. М нукта атрофидан dS элементар горизонтал юзани ажратиб оламиз ва унга h чукурликдаги суюкликга вертикал цилиндрик хажм курамиз. Суюкликнинг хамма массасидан ажратилган суюклик хажмининг мувозанат холатини куриб чикамиз. Цилиндр асоси тубида суюклик босими ташки булади ва хажм ичига нормал буйича йуналган, яъни юк;орига.


2.2-расм. Гидростатиканинг асосий тенгламасига хулоса учун
схема




Вертикал укдаги проекцияга куриб чикилаётган хажмга таъсир килаётган кучлар йигиндисини ёзамиз:
pdS - р₀dS - pghdS = 0 (2.18)
Тенгламанинг охирги хади hdS хажмдаги куриб чикилаётган вертикал цилиндрда жойлашган суюкликнинг огирлигини такдим этади. Цилиндрнинг ён сирти буйича таъсир килаётган босим кучлари тенгламага кирмайди, чунки улар ушбу сиртга перпендикуляр ва уларнинг вертикал укидаги проекциялари нолга тенг. Олинган ифодани dS кискартиб ва хадларни гурухлаб, куйидаги тенгламани оламиз:
Р = Р0 + Pg^h = Р0 + & ⁽²¹⁹⁾
Олинган тенглама гидростатиканинг асосий тенгламаси деб аталади ва у буйича тинч турган суюкликнинг хар бир нуктасидаги босимни хисоблаш мумкин. Тенгламадан куриниб турибдики, ушбу босим иккита катталикдан ташкил топган: суюкликнинг ташки (эркин) сиртида р₀ босим ва курилаётган
нуктадан юкоридаги суюклик катламларини нуктага булган огирлик босими.

6. 
   Абсолют, ортицча (манометрик) ва вакуумметрик босимлар
   

Усти очик идишдаги суюкликнинг эркин сиртига атмосфера босими таъсир этади ва у р_ат билан белгиланади. Ушбу холат
учун гидростатиканинг асосий тенгламаси куйидагича ёзиш мумкин:
р = рат + Pg^{h (220)}
бу ерда р - нуктадаги абсолют ёки тулик босим.
Яъни, гидростатиканинг асосий тенгламаси ифодасида аникланган гидростатик босим абсолют босим деб аталади.
Иккита холатни куриб чикамиз:
^{1 Ага}р р > рат .
Абсолют ва атмосфера босимлари орасидаги фарк ортикча ёки манометрик босим деб аталади: