Maksimal nochiziqli impulsiv differensial tenglamalar haqida

Masalaning qo’yilishi.
Quyidagi differensial tenglamalar sistemasi
(1)
chiziqli bo'lmagan chegaraviy shart bilan
(2)
va impulsiv ta'sir
(3)
bilan berilgan bo’lsin, bu yerda matritsa va berilgan funksiyalar;
mos ravishda funksiyaning nuqtadagi o'ng va chap tomonli limitlari.


Integral tenglamaga keltirish
Quyida ba'zi belgilashlardan foydalanamiz. fazo uzluksiz vektor funksiyalardan tashkil topgan Banax fazosini bildiradi. segmentda aniqlangan uzluksiz vektor funksiyalar uchun norma quyidagicha kiritiladi:
orqali quyidagi chiziqli fazoni belgilaymiz:

bu yerda va lar mavjud va ular chegaralangan; .

Ko'rinib turibdiki, chiziqli Banax fazosida norma quyidagicha kiritiladi:

Masalaning qo’yilishi. funksiya barcha uchun (1) differensial tenglamani qanotlantiradi. Shuningdek, ushbu funksiya (2) nolokal integral shartni va lar uchun (3) chegaraviy shartni qanoatlantiradi.
Quyidagi belgilashni kiritamiz:

funksiya (1)-(3) masalaning yechimi bo’ladi. U holda (1) tenglamani intervalda integrallash orqali quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:

Oxirgi tenglikda (2) integral shartni hisobga olib, olamiz
(4)
Funktsiyaga ruxsat bering (4) da chegaraviy shartni (2) qanoatlantiradi:
(5)
beri , bizda (5) tenglikdan
(6)
Tenglikni (6) vakillik (4) ga almashtirib, biz hosil qilamiz
(7)
Chunki quyidagi tengliklar amal qiladi

taqdimotdan (7) olamiz

(8)
Keling, tasvirlashda biroz soddalashtiraylik (8). Keyin quyidagi tengliklar amal qiladi:

(9)

(10)
(9) va (10) ni hisobga olib, taqdimotdan (8) tenglamani olamiz
(11)
for
(11) integral tenglama (1)-(3) muammoni qanoatlantirishini tekshirish oson.